Verifique a validade do Teorema de Clairaut, para u=e elevado a x.y
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema de Clairaut é válido para a função
. Basicamente, vamos precisar trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem para confirmar se as derivadas cruzadas são iguais.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teorema de Clairaut? Ele diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, para a função
, temos:
Isso significa que não importa a ordem em que a gente deriva primeiro em relação a
e depois a
, ou o contrário, o resultado será o mesmo.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Primeira Derivada em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
para encontrar
:
Primeira Derivada em relação a
:
Agora, derivamos essa expressão em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Agora que calculamos ambas as derivadas cruzadas:
Vemos que elas são iguais:
Resposta
Sim, o Teorema de Clairaut é válido para a função
, já que as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem são iguais.