Verifique a validade do Teorema de Clairaut, para u=e elevado a x.y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema de Clairaut é válido para a função . Basicamente, vamos precisar trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem para confirmar se as derivadas cruzadas são iguais.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Clairaut? Ele diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, para a função , temos:
Isso significa que não importa a ordem em que a gente deriva primeiro em relação a e depois a , ou o contrário, o resultado será o mesmo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função .
Primeira Derivada em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a para encontrar :
Primeira Derivada em relação a :
Agora, derivamos essa expressão em relação a para encontrar :

Passo 4

Agora que calculamos ambas as derivadas cruzadas:
Vemos que elas são iguais:

Resposta

Sim, o Teorema de Clairaut é válido para a função , já que as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem são iguais.

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