Verifique a validade do Teorema de Clairaut, para u=e elevado a x.y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema de Clairaut é válido para a função u = e^x y . Basicamente, vamos precisar trabalhar com derivadas parciais de segunda ordem para confirmar se as derivadas cruzadas são iguais.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teorema de Clairaut? Ele diz que, se uma função tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então as derivadas cruzadas são iguais. Ou seja, para a função u(x, y) , temos:
partial^2 upartial x partial y = partial^2 upartial y partial x
Isso significa que não importa a ordem em que a gente deriva primeiro em relação a x e depois a y , ou o contrário, o resultado será o mesmo.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função u = e^x y .
Primeira Derivada em relação a x :
partial upartial x = y cdot e^x y
Agora, derivamos essa expressão em relação a y para encontrar partial^2 upartial y partial x :
partial^2 upartial y partial x = partialpartial y ( y cdot e^x y ) = e^x y + x y cdot e^x y = e^x y (1 + x y)
Primeira Derivada em relação a y :
partial upartial y = x cdot e^x y
Agora, derivamos essa expressão em relação a x para encontrar partial^2 upartial x partial y :
partial^2 upartial x partial y = partialpartial x ( x cdot e^x y ) = e^x y + x y cdot e^x y = e^x y (1 + x y)

Passo 4

Agora que calculamos ambas as derivadas cruzadas:
partial^2 upartial y partial x = e^x y (1 + x y)
partial^2 upartial x partial y = e^x y (1 + x y)
Vemos que elas são iguais:
partial^2 upartial y partial x = partial^2 upartial x partial y

Resposta

Sim, o Teorema de Clairaut é válido para a função u = e^x y , já que as derivadas parciais cruzadas de segunda ordem são iguais.

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