Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
r(t)=t imath+t^23 jmath+6 k, 1 <= t<4.

Passo 1

A gente quer achar o comprimento de arco da curva paramétrica r(t)=t,vecimath + t^2/3,vecjmath + 6,vec k no intervalo 1<= t<=4. O conteúdo aqui é comprimento de arco de curva no espaço, e pra isso precisamos usar a fórmula que envolve a derivada r'(t) e integrar o módulo de r'(t) de t=1 até t=4.

Passo 2

Vamos calcular a derivada componente a componente. Derivando t dá 1, derivando t^2/3 usamos a regra de potência e obtemos tfrac23 t^-1/3, e a derivada de 6 é zero. Logo,
r'(t)=llang<=1,,tfrac23t^-1/3,,0rrang<=

Passo 3

Aplicamos a definição de comprimento de arco:
s=integral1^4l|r'(t)r|,dt,
e o módulo é
|r'(t)|=raiz1+l(tfrac23t^-1/3r)^2 =raiz1+tfrac49t^-2/3=tfrac13raiz9+4t^-2/3

Passo 4

Para integrar integralraiz9+4t^-2/3,dt fazemos a substituição u=t^1/3, então t=u^3, dt=3u^2du e t^-2/3=u^-2. A integral vira
integralraiz9+4u^-2,(3u^2du) =3integral u^2raiz9+4u^-2,du =3integral uraiz9u^2+4,du
Fazendo w=9u^2+4, dw=18u,du leva ao resultado
integralraiz9+4t^-2/3,dt =(9t^2/3+4)^3/29+C

Passo 5

Agora voltamos ao comprimento de arco:
s=integral1^4tfrac13raiz9+4t^-2/3,dt =13l[(9t^2/3+4)^3/29r]1^4 =(9cdot4^2/3+4)^3/2-13^3/227

Resposta

s=l(9cdot4^2/3+4r)^3/2-13^3/227

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