Seja alpha neq 0. Mostre que:
integral 1alpha^2+x^2 d x=1alpha arctg(xalpha)+k
Use esse fato para calcular as integrais:
integral0^1 3 x+15+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma integral envolvendo uma função racional e, depois, usar esse resultado para calcular uma integral definida. O conteúdo que vamos usar é integral de funções racionais, especificamente envolvendo a função arco-tangente. Precisamos entender como integrar funções da forma 1alpha^2 + x^2 e depois aplicar isso para resolver a integral integral0^1 3x + 15 + x^2 , dx .

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que:
integral 1alpha^2+x^2 , dx = 1alpha arctan(xalpha) + C
Para isso, sabemos que a integral de 1a^2 + u^2 em relação a u é 1a arctan(ua) + C . Aqui, a = alpha e u = x . Portanto, aplicando essa regra direta, temos a igualdade mostrada.
Agora, vamos calcular a integral integral0^1 3x + 15 + x^2 , dx . Podemos simplificar essa integral dividindo-a em duas partes:
integral 3x5 + x^2 , dx + integral 15 + x^2 , dx
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro, para integral 3x5 + x^2 , dx , fazemos uma substituição simples. Seja u = 5 + x^2 , então du = 2x , dx , ou seja, x , dx = du2 . Substituindo:
3 integral x5 + x^2 , dx = 3 cdot 12 integral duu = 32 ln|u| + C = 32 ln|5 + x^2| + C
Segundo, para integral 15 + x^2 , dx , usamos a fórmula que mostramos no Passo 2:
integral 15 + x^2 , dx = 1raiz5 arctan(xraiz5) + C

Resposta

Somando as duas partes, a integral definida fica:
integral0^1 3x + 15 + x^2 , dx = [ 32 ln(5 + x^2) + 1raiz5 arctan(xraiz5) ]0^1
Calculando nos limites:
= ( 32 ln(6) + 1raiz5 arctan(1raiz5) ) - ( 32 ln(5) + 1raiz5 arctan(0) )
Simplificando:
= 32 ln(65) + 1raiz5 arctan(1raiz5)
Esse é o valor final da integral.

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