Seja
. Mostre que:
Use esse fato para calcular as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar uma integral envolvendo uma função racional e, depois, usar esse resultado para calcular uma integral definida. O conteúdo que vamos usar é integral de funções racionais, especificamente envolvendo a função arco-tangente. Precisamos entender como integrar funções da forma
e depois aplicar isso para resolver a integral
.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que:
Para isso, sabemos que a integral de
em relação a
é
. Aqui,
e
. Portanto, aplicando essa regra direta, temos a igualdade mostrada.
Agora, vamos calcular a integral
. Podemos simplificar essa integral dividindo-a em duas partes:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro, para
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Segundo, para
, usamos a fórmula que mostramos no Passo 2:
Resposta
Somando as duas partes, a integral definida fica:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Esse é o valor final da integral.