Encontre a curvatura de em função do parâmetro . Quais as coordenadas do ponto no qual a curva possui curvatura máxima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a curvatura da curva definida por em função de . Além disso, queremos descobrir as coordenadas do ponto onde essa curva tem a curvatura máxima. Para isso, vamos precisar entender o que é curvatura e como calculá-la usando cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva vetorial mede o quanto a curva está “virando” em um ponto específico. Matematicamente, a curvatura é dada por:
Aqui, é a primeira derivada de em relação a (a velocidade), e é a segunda derivada (a aceleração).
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada :
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada :
Passo 5
Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial :
Passo 6
Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:
Para encontrar o ponto onde a curvatura é máxima, precisamos encontrar o valor de t que maximiza kappa(t). Observando a expressão de kappa(t), percebemos que o denominador (1 + 2t^2)^3/2 é sempre positivo e aumenta conforme |t| aumenta. Portanto, a curvatura será máxima quando 1 + 2t^2 for mínima, ou seja, quando t = 0.
Passo 10
Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente a t = 0:
r(0) = (0, 0, 1 + 0^2) = (0, 0, 1)
Resposta
A curvatura da curva é kappa(t) = dfrac1(1 + 2t^2)^3/2 e o ponto onde a curva possui curvatura máxima é (0,,0,,1).