Encontre a curvatura de r(t)=(t, t, 1+t^2) em função do parâmetro t. Quais as coordenadas do ponto no qual a curva r(t) possui curvatura máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar a curvatura da curva definida por r(t) = (t, t, 1 + t^2) em função de t. Além disso, queremos descobrir as coordenadas do ponto onde essa curva tem a curvatura máxima. Para isso, vamos precisar entender o que é curvatura e como calculá-la usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a curvatura de uma curva vetorial r(t) mede o quanto a curva está “virando” em um ponto específico. Matematicamente, a curvatura kappa(t) é dada por:
kappa(t) = ||r'(t) times r''(t)||||r'(t)||^3
Aqui, r'(t) é a primeira derivada de r(t) em relação a t (a velocidade), e r''(t) é a segunda derivada (a aceleração).

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada r'(t):
r'(t) = ddt (t, t, 1 + t^2) = (1, 1, 2t)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada r''(t):
r''(t) = ddt (1, 1, 2t) = (0, 0, 2)

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular o produto vetorial r'(t) times r''(t):
r'(t) times r''(t) = i & j & k 1 & 1 & 2t 0 & 0 & 2 = ( (1 cdot 2) - (2t cdot 0) ) i - ( (1 cdot 2) - (2t cdot 0) ) j + ( (1 cdot 0) - (1 cdot 0) ) k = (2, -2, 0)

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma do produto vetorial:
||r'(t) times r''(t)|| = raiz2^2 + (-2)^2 + 0^2 = raiz4 + 4 + 0 = raiz8 = 2raiz2

Passo 7

Também precisamos calcular a norma de r'(t) elevada ao cubo:
||r'(t)|| = raiz1^2 + 1^2 + (2t)^2 = raiz1 + 1 + 4t^2 = raiz2 + 4t^2
Então,
||r'(t)||^3 = (raiz2 + 4t^2)^3 = (2 + 4t^2)^3/2

Passo 8

Agora podemos substituir esses valores na fórmula da curvatura:
kappa(t) = 2raiz2(2 + 4t^2)^3/2 = 2raiz22^3/2 (1 + 2t^2)^3/2 = 2raiz22^3/2 (1 + 2t^2)^3/2 = 2raiz22^3/2 cdot 1(1 + 2t^2)^3/2 = 22 cdot 1(1 + 2t^2)^3/2 = 1(1 + 2t^2)^3/2
Então, a curvatura é:
kappa(t) = 1(1 + 2t^2)^3/2

Passo 9

Para encontrar o ponto onde a curvatura é máxima, precisamos encontrar o valor de t que maximiza kappa(t). Observando a expressão de kappa(t), percebemos que o denominador (1 + 2t^2)^3/2 é sempre positivo e aumenta conforme |t| aumenta. Portanto, a curvatura será máxima quando 1 + 2t^2 for mínima, ou seja, quando t = 0.

Passo 10

Agora, vamos encontrar as coordenadas do ponto correspondente a t = 0:
r(0) = (0, 0, 1 + 0^2) = (0, 0, 1)

Resposta

A curvatura da curva é kappa(t) = dfrac1(1 + 2t^2)^3/2 e o ponto onde a curva possui curvatura máxima é (0,,0,,1).

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