Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
x=a cos ^3 t, y=a sin ^3 t, z=1,0 <= t <= pi2. Resp.: 3 a2

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
x = acos^3 t, y = asin^3 t, z = 1, 0 <= t <= pi2
Aqui o conteúdo é comprimento de arco em R^3. Para resolver, vamos usar a fórmula
L = integralt0^t1 |r'(t)|,dt,
onde r(t) = (x(t),y(t),z(t)).

Passo 2

Calcular r'(t). Como
r(t) = l(acos^3 t,;asin^3 t,;1r),
derivamos cada componente:
x'(t) = -3acos^2 t,sin t, y'(t) = 3asin^2 t,cos t, z'(t) = 0

Passo 3

Determinar a norma de r'(t):
|r'(t)| = raiz(-3acos^2 t,sin t)^2 + (3asin^2 t,cos t)^2 = 3araizcos^4 t,sin^2 t + sin^4 t,cos^2 t
Fatorando cos^2 t,sin^2 t e usando cos^2 t+sin^2 t=1, vem
|r'(t)| = 3a,sin tcos t

Passo 4

Agora o comprimento de arco é
L = integral0^pi/2 3a,sin tcos t,dt
Podemos usar sin tcos t=tfrac12sin2t ou notar que a derivada de sin^2 t é 2sin tcos t. Assim,
L = 3aintegral0^pi/2 sin tcos t,dt = 3a[tfracsin^2 t2]0^pi/2 = 3acdottfrac12 = 3a2

Resposta

3a2

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