Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
. Resp.:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva paramétrica
Aqui o conteúdo é comprimento de arco em
. Para resolver, vamos usar a fórmula
onde
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) .
Passo 2
Calcular
r'(t) . Como
derivamos cada componente:
Passo 3
Determinar a norma de
r'(t) :
Fatorando
cos^2 t,sin^2 t e usando
cos^2 t+sin^2 t=1 , vem
Passo 4
Agora o comprimento de arco é
Podemos usar
sin tcos t=tfrac12sin2t ou notar que a derivada de
sin^2 t é
2sin tcos t . Assim,