Sejam p(t) e q(t) funçōes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 sāo soluçōes fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=4 t^2 ?
y(t)=-43 t^5+2 t^3.

Passo 1

O enunciado diz que y1(t)=t e y2(t)=t^2 são soluções da homogênea
t^2y''+p(t)y'+q(t)y=0
Isso permite achar as funções p(t) e q(t).

Passo 2

Substituindo y=t e suas derivadas ( y'=1, y''=0) na homogênea:
t^2cdot0 + p(t)cdot1 + q(t),t = 0 Longrightarrow p(t) + t,q(t)=0 Longrightarrow p(t)=-t,q(t)
Agora com y=t^2, y'=2t, y''=2:
t^2cdot2 + p(t)cdot2t + q(t),t^2=0 ;Longrightarrow; 2t^2 + 2t,p(t) + t^2q(t)=0
Usando p(t)=-tq(t)
2t^2 -2t^2q(t)+t^2q(t)=0 ;Longrightarrow; 2 - q(t)=0 ;Longrightarrow; q(t)=2, p(t)=-2t
Logo a não homogênea é
t^2y''-2t,y'+2y=4t^2

Passo 3

Para testar a função candidata
y(t)=-tfrac43t^5+2t^3,
calcamos
y'=-tfrac203t^4+6t^2, y''=-tfrac803t^3+12t

Passo 4

Substituindo em L[y]=t^2y''-2t,y'+2y:
t^2y''=-tfrac803t^5+12t^3, -2t,y'=tfrac403t^5-12t^3, 2y=-tfrac83t^5+4t^3
Somando:
L[y]=l(-tfrac803+tfrac403-tfrac83r)t^5 +(12-12+4)t^3 =-16t^5+4t^3neq4t^2
Portanto essa função não satisfaz a não homogênea.

Passo 5

Usando variação de parâmetros na forma
yp=-y1integraly2,gW+;y2integraly1,gW,
onde g=4 (já que dividimos o lado direito por t^2) e o Wronskiano W=t^2, resulta em
yp(t)=4,t^2ln t
(qualquer termo em t ou t^2 pode ser absorvido na homogênea).

Resposta

Uma solução particular da equação
t^2y''-2t,y'+2y=4t^2
é
yp(t)=4,t^2ln t

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