Sejam
e
funçōes contínuas em
. Sabendo-se que
e
sāo soluçōes fundamentais da equação diferencial
, para
, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação
?
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são soluções da homogênea
Isso permite achar as funções
e
.
Passo 2
Substituindo
e suas derivadas (
,
) na homogênea:
Agora com
,
,
:
Usando
dá
Logo a não homogênea é
Passo 3
Para testar a função candidata
calcamos
Passo 4
Substituindo em
:
Somando:
Portanto essa função não satisfaz a não homogênea.
Passo 5
Usando variação de parâmetros na forma
onde
(já que dividimos o lado direito por
) e o Wronskiano
, resulta em
(qualquer termo em
ou
pode ser absorvido na homogênea).
Resposta
Uma solução particular da equação
é