Sejam p(t) e q(t) funçōes contínuas em R. Sabendo-se que y1(t)=t e y2(t)=t^2 sāo soluçōes fundamentais da equação diferencial t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=0, para t>0, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação t^2 y^prime prime+p(t) y^prime+q(t) y=4 t^2 ?
y(t)=23 t^4

Passo 1

O enunciado diz que as funções
;y1(t)=t, y2(t)=t^2
são soluções fundamentais da equação homogênea
t^2y''+p(t)y'+q(t)y=0(t>0)
Queremos achar uma solução particular da não-homogênea
t^2y''+p(t)y'+q(t)y=4t^2
Como primeiro passo vamos determinar explicitamente p(t) e q(t).

Passo 2

Substituindo y1(t)=t em
t^2y''+p(t)y'+q(t)y=0
temos y''=0, y'=1, y=t, logo
p(t)cdot1+q(t),t=0 Longrightarrow p(t)=-t,q(t)
Substituindo agora y2(t)=t^2, onde y''=2, y'=2t, y=t^2, obtemos
t^2cdot2 ;+;p(t),2t;+;q(t),t^2=0 ;Longrightarrow; 2t^2+2tp(t)+t^2q(t)=0
Usando p(t)=-t,q(t) nesta última, fica
2t^2-2t^2q(t)+t^2q(t)=2t^2-t^2q(t)=0 Longrightarrow q(t)=2,
e então
p(t)=-t,q(t)=-2t

Passo 3

Assim a equação não-homogênea é
t^2y''-2t,y'+2y=4t^2
Para testar se y(t)=tfrac23t^4 é solução particular, compute:
y'=tfrac23cdot4t^3= tfrac83t^3, y''=tfrac83cdot3t^2=8t^2
Logo o lado esquerdo vale
t^2cdot8t^2-2tcdotl(tfrac83t^3r) +2cdotl(tfrac23t^4r) =8t^4-tfrac163t^4+tfrac43t^4 =6t^4neq4t^2
Portanto tfrac23t^4 não satisfaz a equação.

Passo 4

Para encontrar uma solução particular podemos usar variação de parâmetros na forma normalizada
y''-2ty'+2t^2y=4
Calcula-se o Wronskiano W=y1y2'-y1'y2=tcdot2t-t^2cdot1=t^2 e obtém-se
u1'=-y2,4W=-t^2cdot4t^2=-4, u2'=y1,4W=tcdot4t^2=4t
Integramos:
u1=-4t, u2=4ln t
Assim uma solução particular é
yp =u1,y1+u2,y2 =(-4t)cdot t+(4ln t)cdot t^2 =4t^2ln t-4t^2
Como qualquer soma de particular mais homogênea serve, podemos tomar
boxedyp(t)=4,t^2ln t
que de fato faz
;t^2yp''-2t,yp'+2yp=4t^2

Resposta

A função y(t)=tfrac23t^4 não satisfaz a equação não-homogênea.
Uma escolha conveniente de solução particular é
boxedyp(t)=4,t^2ln t

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