Sejam
e
funçōes contínuas em
. Sabendo-se que
e
sāo soluçōes fundamentais da equação diferencial
, para
, qual das funçōes seguintes é uma solução particular da equação
?
Passo 1
O enunciado diz que as funções
são soluções fundamentais da equação homogênea
Queremos achar uma solução particular da não-homogênea
Como primeiro passo vamos determinar explicitamente
e
.
Passo 2
Substituindo
em
temos
,
,
, logo
Substituindo agora
, onde
,
,
, obtemos
Usando
nesta última, fica
e então
Passo 3
Assim a equação não-homogênea é
Para testar se
é solução particular, compute:
Logo o lado esquerdo vale
Portanto
não satisfaz a equação.
Passo 4
Para encontrar uma solução particular podemos usar variação de parâmetros na forma normalizada
Calcula-se o Wronskiano
e obtém-se
Integramos:
Assim uma solução particular é
Como qualquer soma de particular mais homogênea serve, podemos tomar
que de fato faz
Resposta
A função
não satisfaz a equação não-homogênea.
Uma escolha conveniente de solução particular é
Uma escolha conveniente de solução particular é