Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
. Resp.:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento de arco da curva
no intervalo .
O conteúdo é o cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica em , usando a fórmula
no intervalo
O conteúdo é o cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica em
Passo 2
Calculamos a derivada componente a componente:
Então o módulo é
Passo 3
O comprimento de arco é
Para simplificar, fatoramos o denominador com
t^1/3 e vamos à mudança de variável apropriada.
Passo 4
Definimos
u=t^1/3 , logo
t=u^3 e
dt=3,u^2,du .
Quandot=1 temos
u=1 ; quando
t=4 temos
u=4^1/3=2^2/3 .
Substituindo na integral:
Quando
Substituindo na integral:
Logo
Passo 5
Para integrar fazemos
v=9,u^2+4 , então
dv=18,u,du ou
u,du=tfracdv18 .
A integral vira
A integral vira
Voltando aos limites:
Passo 6
Portanto
Isto coincide, após manipulação algébrica, com a forma
127l(-13raiz13+4,(9+2^2/3)^3/2r) .