Determine o comprimento de arco das seguintes curvas nos intervalos dados:
r(t)=t i+t^23 j+6 k, 1 <= t<4. Resp.: 1 / 27(-13 raiz13+4(9+2^2 / 3)^3 / 2)

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva
vec r(t)=t,vec i + t^2/3,vec j +6,vec k
no intervalo 1<= t<= 4.
O conteúdo é o cálculo de comprimento de arco de curva paramétrica em Bbb R^3, usando a fórmula
S=integralt0^t1l|vec r,'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
vec r,'(t)=ddtl(t,;t^2/3,;6r) =l(1,;tfrac23,t^-1/3,;0r)
Então o módulo é
l|vec r,'(t)r| =raiz1+l(tfrac23t^-1/3r)^2 =raiz1+49,t^-2/3 =raiz9,t^2/3+43,t^1/3

Passo 3

O comprimento de arco é
S=integral1^4raiz9,t^2/3+43,t^1/3,dt
Para simplificar, fatoramos o denominador com t^1/3 e vamos à mudança de variável apropriada.

Passo 4

Definimos u=t^1/3, logo t=u^3 e dt=3,u^2,du.
Quando t=1 temos u=1; quando t=4 temos u=4^1/3=2^2/3.
Substituindo na integral:
raiz9,t^2/3+43,t^1/3,dt =raiz9,u^2+43,u,3,u^2,du =u,raiz9,u^2+4,du
Logo
S=integralu=1^u=2^2/3uraiz9,u^2+4,du

Passo 5

Para integrar fazemos v=9,u^2+4, então dv=18,u,du ou u,du=tfracdv18.
A integral vira
integral uraiz9,u^2+4,du =integral raizv,dv18 =118integral v^1/2dv =118cdot23v^3/2 =127v^3/2
Voltando aos limites:
v(1)=9cdot1^2+4=13, vl(2^2/3r)=9l(2^2/3r)^2+4 =9cdot2^4/3+4

Passo 6

Portanto
S =127l[l(9cdot2^4/3+4r)^3/2-13^3/2r]
Isto coincide, após manipulação algébrica, com a forma
127l(-13raiz13+4,(9+2^2/3)^3/2r).

Resposta

boxedS=127l(-13raiz13+4,(9+2^2/3)^3/2r)

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