Seja r(t)=(t raiz2, e^t, e^-t). Determine:
O comprimento da curva gerada por r(t) e compreendida entre os pontos (0,1,1) e(raiz2, e, e^-1).
Dica: Quando for resolver a integral, note que 2+e^2 t+e^-2 t=e^4 t+2 e^2 t+1e^2 t=(e^2 t+1)^2e^2 t

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
r(t)=l(traiz2,,e^t,,e^-tr)
e pede o comprimento de arco entre os pontos (0,1,1) e l(raiz2,e,e^-1r). O conteúdo é cálculo de comprimento de curva em parametrização t, usando a fórmula
L=integralt1^t2llVert r'(t)rrVert,dt

Passo 2

Precisamos achar os limites t1 e t2. Igualando a primeira coordenada a zero, traiz2=0 t1=0. Igualando a raiz2, traiz2=raiz2 t2=1. Assim integraremos de 0 a 1.

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(t)=l(raiz2,,e^t,,-e^-tr)
e seu módulo
llVert r'(t)rrVert =raiz(raiz2)^2+(e^t)^2+(-e^-t)^2 =raiz2+e^2t+e^-2t

Passo 4

Usando a dica,
2+e^2t+e^-2t =e^4t+2e^2t+1e^2t =(e^2t+1)^2e^2t,
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raiz2+e^2t+e^-2t =e^2t+1e^t =e^t+e^-t

Passo 5

O comprimento de arco fica
L=integral0^1l(e^t+e^-tr),dt =integral0^1e^t,dt+integral0^1e^-t,dt

Passo 6

Integramos:
integral e^t,dt=e^t, integral e^-t,dt=-e^-t,
portanto
L=l[e^t - e^-tr]0^1 =(e^1 - e^-1) - (e^0 - e^0) =e - e^-1

Resposta

O comprimento da curva é e - e^-1.

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