Determine o comprimento da corda determinada pela reta
sobre a circunferência
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da corda determinada pela reta
sobre a circunferência
.
Informações dadas:
- Equação da circunferência:
. - Equação da reta:
(ou seja, ).
O que precisamos encontrar:
- O comprimento da corda formada pela interseção da reta com a circunferência (distância entre os dois pontos de interseção).
Passo 2
Identificar o centro e o raio da circunferência a partir da forma padrão
.
Na equação dada temos
. Comparando com
:
- Centro
. - Raio
satisfaz , logo .
Explicação rápida (didática): numa circunferência escrita como
, o par
é o centro e
é o raio porque a expressão mede a distância ao quadrado do ponto
ao centro.
Passo 3
Calcular a distância do centro
à reta
. Esta distância é útil porque a perpendicular do centro até a reta corta a corda no seu ponto médio, formando um triângulo retângulo com hipotenusa
e cateto a metade da corda.
Fórmula da distância de um ponto
à reta
:
Aqui escrevemos a reta
na forma
, ou seja
,
,
. O centro é
.
Substituindo:
Portanto
Explicação didática: essa fórmula vem da projeção da diferença vetorial na normal da reta; aqui dá a distância mínima do centro até a reta.
Passo 4
Usar a relação entre raio, distância ao centro e metade da corda. Se a perpendicular do centro à reta corta a corda em seu ponto médio, forma-se um triângulo retângulo onde:
- hipotenusa =
, - um cateto =
(distância do centro à reta), - o outro cateto = metade da corda, digamos
.
Pelo Teorema de Pitágoras:
Logo o comprimento da corda é
Substituindo
e
:
Explicação didática: a fórmula
é uma consequência direta do triângulo retângulo formado entre o centro, o pé da perpendicular e uma das extremidades da corda.
Passo 5
Verificação alternativa (método algébrico): encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema formado pela reta
e pela circunferência.
Substituir
em
:
Expandindo:
Como
, os pontos de interseção são
e
.
Distância entre esses pontos:
concordando com o resultado anterior.
Passo 6
Conclusão final: o comprimento da corda é
. Vai dar tudo certo na prova — anota esse método (distância centro-reta + fórmula da corda) que costuma ser bem rápido em questões parecidas!