Determine o comprimento da corda determinada pela reta x-y=0 sobre a circunferência (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=36.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da corda determinada pela reta x-y=0 sobre a circunferência (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=36.
Informações dadas:
  • Equação da circunferência: (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=36.
  • Equação da reta: x-y=0 (ou seja, y=x).
O que precisamos encontrar:
  • O comprimento da corda formada pela interseção da reta com a circunferência (distância entre os dois pontos de interseção).

Passo 2

Identificar o centro e o raio da circunferência a partir da forma padrão (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.
Na equação dada temos (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=36. Comparando com (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}:
  • Centro C=(h,k)=(-3,3).
  • Raio r satisfaz r^{2}=36, logo r=6.
Explicação rápida (didática): numa circunferência escrita como (x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}, o par (h,k) é o centro e r é o raio porque a expressão mede a distância ao quadrado do ponto (x,y) ao centro.

Passo 3

Calcular a distância do centro C à reta x-y=0. Esta distância é útil porque a perpendicular do centro até a reta corta a corda no seu ponto médio, formando um triângulo retângulo com hipotenusa r e cateto a metade da corda.
Fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0) à reta ax+by+c=0:
d=\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Aqui escrevemos a reta x-y=0 na forma 1\cdot x + (-1)\cdot y + 0 = 0, ou seja a=1, b=-1, c=0. O centro é (x_0,y_0)=(-3,3).
Substituindo:
\text{numerador}=|a x_0 + b y_0 + c| = |1\cdot(-3) + (-1)\cdot 3 + 0| = |-3 - 3| = | -6 | = 6,
\text{denominador}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.
Portanto
d=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.
Explicação didática: essa fórmula vem da projeção da diferença vetorial na normal da reta; aqui dá a distância mínima do centro até a reta.

Passo 4

Usar a relação entre raio, distância ao centro e metade da corda. Se a perpendicular do centro à reta corta a corda em seu ponto médio, forma-se um triângulo retângulo onde:
  • hipotenusa = r,
  • um cateto = d (distância do centro à reta),
  • o outro cateto = metade da corda, digamos \tfrac{L}{2}.
Pelo Teorema de Pitágoras:
\left(\tfrac{L}{2}\right)^{2}=r^{2}-d^{2}.
Logo o comprimento da corda é
L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}}.
Substituindo r=6 e d=3\sqrt{2}:
r^{2}-d^{2}=36-(3\sqrt{2})^{2}=36-9\cdot 2=36-18=18,
L=2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}.
Explicação didática: a fórmula L=2\sqrt{r^{2}-d^{2}} é uma consequência direta do triângulo retângulo formado entre o centro, o pé da perpendicular e uma das extremidades da corda.

Passo 5

Verificação alternativa (método algébrico): encontrar os pontos de interseção resolvendo o sistema formado pela reta y=x e pela circunferência.
Substituir y=x em (x+3)^{2}+(y-3)^{2}=36:
(x+3)^{2}+(x-3)^{2}=36.
Expandindo:
(x^{2}+6x+9)+(x^{2}-6x+9)=36,
2x^{2}+18=36,
2x^{2}=18 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 3.
Como y=x, os pontos de interseção são P_{1}=(3,3) e P_{2}=(-3,-3).
Distância entre esses pontos:
\Delta x = 3-(-3)=6,\qquad \Delta y=3-(-3)=6,
\text{dist}=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\sqrt{6^{2}+6^{2}}=\sqrt{72}=6\sqrt{2},
concordando com o resultado anterior.

Passo 6

Conclusão final: o comprimento da corda é 6\sqrt{2}. Vai dar tudo certo na prova — anota esse método (distância centro-reta + fórmula da corda) que costuma ser bem rápido em questões parecidas!

Resposta

6\sqrt{2}

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