Qual é a posição do ponto
em relação à circunferência
?
Passo 1
O enunciado fornece a circunferência dada pela equação
e o ponto
.
A pergunta: qual é a posição do ponto em relação à circunferência — isto é,
está dentro, sobre ou fora da circunferência?
A pergunta: qual é a posição do ponto
Passo 2
Vamos escrever a equação da circunferência na forma centro-raio completando quadrados. Para isso usamos a identidade
(mesma ideia para
). A equação dada é
Agrupando termos de
e
e passando o
para o outro lado:
Agora completamos quadrados:
Substituindo na igualdade:
Somando os termos constantes:
Isolando os quadrados:
Assim, a circunferência tem centro
e raio
, porque
com
.
Passo 3
Critério para posição de um ponto
em relação a uma circunferência de centro
e raio
:
- calcular a distância de
ao centro :
- Se
então está dentro; se então está sobre a circunferência; se então está fora.
Isto decorre da definição geométrica de circunferência: pontos a uma distância exatamentedo centro pertencem à circunferência.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso:
,
, e
.
Calculemos a distância ao quadrado (evita extrair raiz imediatamente):
Calculemos a distância ao quadrado (evita extrair raiz imediatamente):
Calcule cada termo:
Somando:
Compare com
. Observa-se que
porque
é equivalente a
, e
. Numericamente,
que é menor que
. Portanto
.
Passo 5
Como a distância do ponto
ao centro é menor que o raio, concluímos que
está estritamente dentro da circunferência. Boa — ponto dentro significa que, se fosse a prova, pode marcar “dentro” com confiança!
Resposta
O ponto
está dentro da circunferência.