Qual é a posição do ponto A(1, \sqrt{2}) em relação à circunferência x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+4=0 ?

Passo 1

O enunciado fornece a circunferência dada pela equação
x^{2}+y^{2}-4x-4y+4=0
e o ponto A\bigl(1,\sqrt{2}\bigr).
A pergunta: qual é a posição do ponto A em relação à circunferência — isto é, A está dentro, sobre ou fora da circunferência?

Passo 2

Vamos escrever a equação da circunferência na forma centro-raio completando quadrados. Para isso usamos a identidade (x-a)^{2}=x^{2}-2ax+a^{2} (mesma ideia para y). A equação dada é
x^{2}-4x+y^{2}-4y+4=0.
Agrupando termos de x e y e passando o 4 para o outro lado:
x^{2}-4x+y^{2}-4y=-4.
Agora completamos quadrados:
x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4,\qquad y^{2}-4y=(y-2)^{2}-4.
Substituindo na igualdade:
(x-2)^{2}-4+(y-2)^{2}-4=-4.
Somando os termos constantes:
(x-2)^{2}+(y-2)^{2}-8=-4.
Isolando os quadrados:
(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=4.
Assim, a circunferência tem centro C(2,2) e raio r=2, porque (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=r^{2} com r^{2}=4.

Passo 3

Critério para posição de um ponto P(x_{0},y_{0}) em relação a uma circunferência de centro C(x_{c},y_{c}) e raio r:
  • calcular a distância de P ao centro C:
d=\sqrt{(x_{0}-x_{c})^{2}+(y_{0}-y_{c})^{2}}.
  • Se d<r então P está dentro; se d=r então P está sobre a circunferência; se d>r então P está fora.
    Isto decorre da definição geométrica de circunferência: pontos a uma distância exatamente r do centro pertencem à circunferência.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: C(2,2), r=2, e A\bigl(1,\sqrt{2}\bigr).
Calculemos a distância ao quadrado (evita extrair raiz imediatamente):
d^{2}=(1-2)^{2}+(\sqrt{2}-2)^{2}.
Calcule cada termo:
(1-2)^{2}=(-1)^{2}=1,
(\sqrt{2}-2)^{2}=2-4\sqrt{2}+4=6-4\sqrt{2}.
Somando:
d^{2}=1+(6-4\sqrt{2})=7-4\sqrt{2}.
Compare com r^{2}=4. Observa-se que
7-4\sqrt{2}<4
porque 7-4\sqrt{2}<4 é equivalente a 3<4\sqrt{2}, e 4\sqrt{2}\approx 5{,}657>3. Numericamente,
d^{2}\approx 1{,}343\quad\Rightarrow\quad d\approx 1{,}159,
que é menor que r=2. Portanto d<r.

Passo 5

Como a distância do ponto A ao centro é menor que o raio, concluímos que A está estritamente dentro da circunferência. Boa — ponto dentro significa que, se fosse a prova, pode marcar “dentro” com confiança!

Resposta

O ponto A(1,\sqrt{2}) está dentro da circunferência.

Exercícios relacionados