Determine o comprimento da curratura
r(t)=lang<= t, 3 cos t, 3 sen trang<=,-5 <= t <= 5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial r(t) = lang<= t, 3 cos t, 3 sin t rang<= no intervalo -5 <= t <= 5 . O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do comprimento de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Para calcular o comprimento da curva, usamos a seguinte fórmula do comprimento de arco para uma função vetorial r(t) = lang<= x(t), y(t), z(t) rang<= :
L = integrala^b | r'(t) | , dt
Aqui, r'(t) é a derivada da função vetorial r(t) em relação a t , e | r'(t) | representa a norma (ou comprimento) desse vetor derivado.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t :
r'(t) = lang<= ddt t, ddt 3 cos t, ddt 3 sin t rang<=
Calculando cada componente:
r'(t) = lang<= 1, -3 sin t, 3 cos t rang<=

Passo 4

Agora, calculamos a norma de r'(t) :
| r'(t) | = raiz1^2 + (-3 sin t)^2 + (3 cos t)^2 = raiz1 + 9 sin^2 t + 9 cos^2 t

Passo 5

Podemos simplificar a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica sin^2 t + cos^2 t = 1 :
1 + 9 (sin^2 t + cos^2 t) = 1 + 9 cdot 1 = 10
Portanto, | r'(t) | = raiz10

Passo 6

Finalmente, calculamos o comprimento da curva:
L = integral-5^5 raiz10 , dt = raiz10 cdot (5 - (-5)) = raiz10 cdot 10 = 10 raiz10

Resposta

O comprimento da curvatura é 10 raiz10 .

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