Determine o comprimento da curratura
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida pela função vetorial
no intervalo
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo do comprimento de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos utilizar a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Para calcular o comprimento da curva, usamos a seguinte fórmula do comprimento de arco para uma função vetorial
:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
em relação a
, e
representa a norma (ou comprimento) desse vetor derivado.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Calculando cada componente:
Passo 4
Agora, calculamos a norma de
:
Passo 5
Podemos simplificar a expressão dentro da raiz usando a identidade trigonométrica
:
Portanto,
Passo 6
Finalmente, calculamos o comprimento da curva:
Resposta
O comprimento da curvatura é
.