Mostre que y=x-x^wed>=-1 é uma solução da equação diferencial x y^prime+y=2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função $ y = x - x^{2} - 1 $ é uma solução da equação diferencial $ x y’ + y = 2x $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que envolvem derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, substituir na equação diferencial e verificar se a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função é $ y = x - x^{2} - 1 $.
Usando as regras de derivação:
  • A derivada de $ x $ é 1.
  • A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $.
  • A derivada de uma constante, como -1, é 0.
Então,
y

Passo 3

Agora que temos $ y’ = 1 - 2x $, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial original $ x y’ + y = 2x $.
Substituindo:
y' = 1 - 2x

Passo 4

Vamos simplificar a expressão passo a passo.
Primeiro, distribuímos $ x $ na primeira parte:
x
x cdot 1 - x cdot 2x + x - x^2 - 1 = 2x
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
x - 2x^2 + x - x^2 - 1 = 2x
(x + x) - (2x^2 + x^2) - 1 = 2x

Passo 5

Agora, vamos ver se a equação é verdadeira.
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados:
2x
2x - 3x^2 - 1 - 2x = 0
Isso não parece igual a zero, mas vamos verificar nosso cálculo anterior.

Passo 6

Vamos reavaliar a substituição:
A equação após substituir foi:
x (1 - 2x) + (x - x^2 - 1) = 2x
x - 2x^2 + x - x^2 - 1 = 2x
2x - 3x^2 - 1 = 2x
Subtraindo $ 2x $ dos dois lados:
2x
2x - 3x^2 - 1 - 2x = 0
Isso significa que nossa função $ y = x - x^{2} -1 $ não satisfaz a equação diferencial $ x y’ + y = 2x $. Portanto, a função apresentada não é uma solução da equação diferencial dada.

Resposta

Após a verificação, a função $ y = x - x^{2} - 1 $ não é uma solução da equação diferencial $ x y’ + y = 2x $, pois a igualdade não se mantém.

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