Mostre que
é uma solução da equação diferencial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função $ y = x - x^{2} - 1 $ é uma solução da equação diferencial $ x y’ + y = 2x $. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, que envolvem derivadas de funções. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $, substituir na equação diferencial e verificar se a igualdade é verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de $ y $ em relação a $ x $. A função é $ y = x - x^{2} - 1 $.
Usando as regras de derivação:
- A derivada de $ x $ é 1.
- A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $.
- A derivada de uma constante, como -1, é 0.
Então,
Passo 3
Agora que temos $ y’ = 1 - 2x $, vamos substituir $ y $ e $ y’ $ na equação diferencial original $ x y’ + y = 2x $.
Substituindo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão passo a passo.
Primeiro, distribuímos $ x $ na primeira parte:
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, vamos ver se a equação é verdadeira.
Subtraindo $ 2x $ de ambos os lados:
Isso não parece igual a zero, mas vamos verificar nosso cálculo anterior.
Passo 6
Vamos reavaliar a substituição:
A equação após substituir foi:
Subtraindo $ 2x $ dos dois lados:
Isso significa que nossa função $ y = x - x^{2} -1 $ não satisfaz a equação diferencial $ x y’ + y = 2x $. Portanto, a função apresentada não é uma solução da equação diferencial dada.
Resposta
Após a verificação, a função $ y = x - x^{2} - 1 $ não é uma solução da equação diferencial $ x y’ + y = 2x $, pois a igualdade não se mantém.