Escreva a seguinte função como f(z)=f(x+y i)= u(x, y)+i v(x, y) :
f(z)=e^1z.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(z)=e^1z
onde z=x+i y como
f(x+i y)=u(x,y)+i,v(x,y)
Para isso vamos (1) calcular tfrac1z em termos de x e y e (2) usar a fórmula
e^a+i b=e^al(cos b+isin br)

Passo 2

Começando por
1z = 1x+i y =x-i y(x+i y)(x-i y) =x-i yx^2+y^2 =xx^2+y^2-i,yx^2+y^2
Logo definimos
alpha(x,y)=xx^2+y^2, beta(x,y)=-yx^2+y^2,
de modo que
1z=alpha+ibeta

Passo 3

Agora aplicamos
e^alpha+ibeta=e^alphal(cosbeta+isinbetar)
Substituindo alpha e beta encontramos
e^1/z =e^xx^2+y^2 l[cosl(-tfracyx^2+y^2r) +isinl(-tfracyx^2+y^2r)r]
Como cos é par e sin é ímpar, isso vira
e^1/z =e^xx^2+y^2 l[cosl(tfracyx^2+y^2r) -isinl(tfracyx^2+y^2r)r]

Passo 4

Da última expressão identificamos as partes real e imaginária:
u(x,y) =e^xx^2+y^2 cosl(yx^2+y^2r), v(x,y) =-,e^xx^2+y^2 sinl(yx^2+y^2r)

Resposta

f(x+i y)=u(x,y)+i,v(x,y),
onde
u(x,y) =e^xx^2+y^2 cosl(yx^2+y^2r), v(x,y) =-,e^xx^2+y^2 sinl(yx^2+y^2r)

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