Determine o comprimento da curva.
y=ln (1-x^2), 0 <= x <= 12

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva definida por
y=lnl(1-x^2r) para 0<= x<=tfrac12.
Vamos usar a fórmula de comprimento de arco
L = integrala^b raiz1 + l(y'(x)r)^2;dx
e seguir estes passos: derivar y, montar o integrando, simplificar e integrar.

Passo 2

Calculando a derivada de y:
y = lnl(1-x^2r) Longrightarrow y' = ddxlnl(1-x^2r) = 11-x^2cdot(-2x) = -2x1-x^2

Passo 3

Agora montamos o integrando:
1 + l(y'r)^2 = 1 + 4x^2(1-x^2)^2 = (1-x^2)^2 + 4x^2(1-x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4 + 4x^2(1-x^2)^2 = (1+x^2)^2(1-x^2)^2
Logo,
raiz1 + (y')^2 = 1+x^21-x^2

Passo 4

O comprimento fica
L = integral0^tfrac121+x^21-x^2;dx
Para facilitar, escrevemos
1+x^21-x^2 = 1 + 2x^21-x^2 = 1 + 2l(11-x^2 - 1r) = 21-x^2 - 1
Então
L = integral0^tfrac12l(21-x^2 - 1r);dx = 2integral0^tfrac12dx1-x^2 - integral0^tfrac121;dx

Passo 5

Sabemos que
integral dx1-x^2 = arctanh(x)
Logo
L = 2l[arctanh(x)r]0^tfrac12 - l[xr]0^tfrac12 = 2,arctanhl(tfrac12r) - tfrac12
E como
arctanhl(tfrac12r) = tfrac12ln!l(tfrac1+tfrac121-tfrac12r) = tfrac12ln(3),
vem
L = 2cdottfrac12ln(3) - tfrac12 = ln(3) - tfrac12

Resposta

ln(3) - tfrac12

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