^a Questão.( 3,5 pts ) Calcule o limite, se existir.
lim x 4^+ 4 x-x^2x^2-8 x+16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 4 pela direita da função 4x - x^2x^2 - 8x + 16. Vamos usar conceitos de limites e fatoração para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos x = 4 diretamente na função:
4(4) - 4^24^2 - 8(4) + 16 = 16 - 1616 - 32 + 16 = 00
Esse resultado 00 é uma forma indeterminada, o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão.
Numerador:
4x - x^2 = -x^2 + 4x = -x(x - 4)
Denominador:
x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2
Agora, substituímos na expressão original:
-x(x - 4)(x - 4)^2

Passo 4

Simplificamos a fração cancelando um fator comum (x - 4) :
-xx - 4
Agora, a expressão ficou mais simples para calcular o limite.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função -xx - 4 quando x se aproxima de 4 pela direita ( x to 4^+ ).
  • O numerador -x se aproxima de -4 .
  • O denominador x - 4 se aproxima de 0, mas como x está vindo da direita de 4, x - 4 é um número pequeno positivo.
Portanto, temos uma fração onde o numerador é negativo e o denominador é um número positivo que tende a zero. Isso significa que a fração tende a -infty .

Resposta

O limite é -infty .

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