Dê a definição de função contínua e encontre o valor de A e B para que a função seja contínua.
Passo 1
Beleza! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir quais valores de A e B fazem essa função ser contínua. A matéria aqui é sobre continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e aplicar essa definição nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em x = 0 e x = 2 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela, quando chega por qualquer direção, é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, não tem “saltos” ou “buracos”.
Passo 3
Nossa função [f(x)) está dividida em três partes:
Precisamos garantir que, em , as partes da função se conectem sem interrupção.
Passo 4
Vamos começar verificando a continuidade em x = 0 .
Para x = 0 :
O limite pela esquerda ( x to 0^- ) é dado por 2x + A . Substituindo x = 0 :
limx to 0^- f(x) = 2(0) + A = A
O limite pela direita ( x to 0^+ ) é dado por x^2 + Bx + 4 . Substituindo x = 0 :
limx to 0^+ f(x) = 0^2 + B(0) + 4 = 4
O valor da função em x = 0 também é f(0) = 4 .
Para ser contínua em x = 0 , os limites devem ser iguais:
A = 4
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade em x = 2 .
Para x = 2 :
O limite pela esquerda ( x to 2^- ) é dado por x^2 + Bx + 4 . Substituindo x = 2 :