^ a Questão. (3,5 pts)
(a) Considere a função definida por:
f(x)=ll 2 x+A, & se x<0 x^2+B x+4, & se 0 <= x <= 2 x^3, & se x>2
Dê a definição de função contínua e encontre o valor de A e B para que a função seja contínua.

Passo 1

Beleza! A gente tem uma função definida por partes e precisa descobrir quais valores de A e B fazem essa função ser contínua. A matéria aqui é sobre continuidade de funções, e para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e aplicar essa definição nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em x = 0 e x = 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função contínua. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela, quando chega por qualquer direção, é igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, não tem “saltos” ou “buracos”.

Passo 3

Nossa função [f(x)) está dividida em três partes:
Precisamos garantir que, em , as partes da função se conectem sem interrupção.

Passo 4

Vamos começar verificando a continuidade em x = 0 .
Para x = 0 :
  • O limite pela esquerda ( x to 0^- ) é dado por 2x + A . Substituindo x = 0 :
limx to 0^- f(x) = 2(0) + A = A
  • O limite pela direita ( x to 0^+ ) é dado por x^2 + Bx + 4 . Substituindo x = 0 :
limx to 0^+ f(x) = 0^2 + B(0) + 4 = 4
  • O valor da função em x = 0 também é f(0) = 4 .
Para ser contínua em x = 0 , os limites devem ser iguais:
A = 4

Passo 5

Agora, vamos verificar a continuidade em x = 2 .
Para x = 2 :
  • O limite pela esquerda ( x to 2^- ) é dado por x^2 + Bx + 4 . Substituindo x = 2 :
limx to 2^- f(x) = 2^2 + B(2) + 4 = 4 + 2B + 4 = 8 + 2B
  • O limite pela direita ( x to 2^+ ) é dado por x^3 . Substituindo x = 2 :
limx to 2^+ f(x) = 2^3 = 8
  • O valor da função em x = 2 também é f(2) = 8 + 2B .
Para ser contínua em x = 2 , os limites devem ser iguais:
8 + 2B = 8 implies 2B = 0 implies B = 0

Resposta

Para que a função seja contínua, os valores devem ser A = 4 e B = 0 .

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