Questão.(3,0 pts)
Encontre a derivada de
usando a definição. Diga qual é o domínio da função derivada.
Encontre a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função
usando a definição de derivada. A gente vai trabalhar com o conceito básico de derivadas, que é fundamental no cálculo, e também vai precisar entender domínio de funções para determinar onde a derivada está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação de
quando o intervalo de variação tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que vamos calcular esse limite para a nossa função
.
Passo 3
Agora, vamos substituir
na definição. Primeiro, calculamos
:
Em seguida, substituímos na fórmula da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Agora, podemos separar as frações:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos lidar com a parte da raiz quadrada. Para simplificar
, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado:
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
Agora, quando
tende a 0:
Passo 6
Finalmente, simplificamos a expressão:
Resposta
A derivada de
é:
E o domínio da função derivada é
, já que a expressão
só está definida para valores positivos de
.