^a Questão.(3,0 pts)
Encontre a derivada de f(x)=2 x+raizx usando a definição. Diga qual é o domínio da função derivada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função f(x) = 2x + raizx usando a definição de derivada. A gente vai trabalhar com o conceito básico de derivadas, que é fundamental no cálculo, e também vai precisar entender domínio de funções para determinar onde a derivada está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função f em um ponto x é o limite da taxa de variação de f quando o intervalo de variação tende a zero. Matematicamente, isso é representado por:
f'(x) = limh to 0 f(x + h) - f(x)h
Isso significa que vamos calcular esse limite para a nossa função f(x) = 2x + raizx .

Passo 3

Agora, vamos substituir f(x) na definição. Primeiro, calculamos f(x + h) :
f(x + h) = 2(x + h) + raizx + h = 2x + 2h + raizx + h
Em seguida, substituímos na fórmula da derivada:
f'(x) = limh to 0 (2x + 2h + raizx + h) - (2x + raizx)h

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
f'(x) = limh to 0 2h + raizx + h - raizxh
Agora, podemos separar as frações:
f'(x) = limh to 0 ( 2hh + raizx + h - raizxh )
Isso simplifica para:
f'(x) = limh to 0 ( 2 + raizx + h - raizxh )

Passo 5

Agora, vamos lidar com a parte da raiz quadrada. Para simplificar raizx + h - raizxh , multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado:
raizx + h - raizxh times raizx + h + raizxraizx + h + raizx = (x + h) - xh(raizx + h + raizx) = hh(raizx + h + raizx) = 1raizx + h + raizx
Então, substituindo de volta na expressão da derivada:
f'(x) = limh to 0 ( 2 + 1raizx + h + raizx )
Agora, quando h tende a 0:
f'(x) = 2 + 12raizx

Passo 6

Finalmente, simplificamos a expressão:
f'(x) = 2 + 12raizx

Resposta

A derivada de f(x) = 2x + raizx é:
f'(x) = 2 + 12raizx
E o domínio da função derivada é x > 0 , já que a expressão raizx só está definida para valores positivos de x .

Exercícios relacionados