Questão.(3,0 pts)
Use a definição de derivada para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
Use a definição de derivada para encontrar a equação da reta tangente à curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a definição de derivada para encontrar a equação da reta tangente à curva
no ponto
. Então, vamos precisar entender o que é derivada, como calcular usando a definição e depois usar isso para achar a reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A definição de derivada é:
Aqui,
representa a derivada de
no ponto
.
Passo 3
Vamos aplicar essa definição para a nossa função
no ponto
.
Primeiro, calculamos
:
Confere com o ponto dado
.
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Passo 5
Substituindo na definição da derivada:
Vamos simplificar o numerador:
Passo 6
Agora, a expressão da derivada fica:
Quando
tende a 0,
tende a 5. Então:
Passo 7
Com a derivada
, temos a inclinação da reta tangente no ponto
. Agora, usamos a equação da reta:
Onde
e
.
Passo 8
Substituindo os valores na equação:
Distribuindo o 0,2:
Somando 1 dos dois lados:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto
é
.