^a Questão.(3,0 pts)
Use a definição de derivada para encontrar a equação da reta tangente à curva f(x)=2 x+1x+3 no ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar a definição de derivada para encontrar a equação da reta tangente à curva f(x) = 2x + 1x + 3 no ponto (2, 1) . Então, vamos precisar entender o que é derivada, como calcular usando a definição e depois usar isso para achar a reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. A definição de derivada é:
f'(a) = limh to 0 f(a + h) - f(a)h
Aqui, f'(a) representa a derivada de f no ponto a .

Passo 3

Vamos aplicar essa definição para a nossa função f(x) = 2x + 1x + 3 no ponto a = 2 .
Primeiro, calculamos f(2) :
f(2) = 2(2) + 12 + 3 = 4 + 15 = 55 = 1
Confere com o ponto dado (2, 1) .

Passo 4

Agora, vamos calcular f(2 + h) :
f(2 + h) = 2(2 + h) + 1(2 + h) + 3 = 4 + 2h + 15 + h = 5 + 2h5 + h

Passo 5

Substituindo na definição da derivada:
f'(2) = limh to 0 5 + 2h5 + h - 1h
Vamos simplificar o numerador:
5 + 2h5 + h - 1 = 5 + 2h - (5 + h)5 + h = 5 + 2h -5 -h5 + h = h5 + h

Passo 6

Agora, a expressão da derivada fica:
f'(2) = limh to 0 h5 + hh = limh to 0 15 + h
Quando h tende a 0, 5 + h tende a 5. Então:
f'(2) = 15 = 0,2

Passo 7

Com a derivada f'(2) = 0,2 , temos a inclinação da reta tangente no ponto (2, 1) . Agora, usamos a equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Onde m = 0,2 e (x1, y1) = (2, 1) .

Passo 8

Substituindo os valores na equação:
y - 1 = 0,2(x - 2)
Distribuindo o 0,2:
y - 1 = 0,2x - 0,4
Somando 1 dos dois lados:
y = 0,2x - 0,4 + 1
y = 0,2x + 0,6

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto (2, 1) é y = 0,2x + 0,6 .

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