Determine o comprimento da curva dada.
r(t)=t i+cos (t) j+3 sen(t) k, -5 <= t <= 5

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva de posição
r(t)=t,i+cos(t),j+3sen(t),k
no intervalo -5<= t<=5.
O conteúdo aqui é aplicação da fórmula de comprimento de curva no espaço:
L=integrala^bl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
r'(t)=ddtl(t,;cos t,;3sen tr) =l(1,;-,sen t,;3cos tr)

Passo 3

O quadrado da velocidade é
|r'(t)|^2 =1^2+(-sen t)^2+(3cos t)^2 =1+sen^2t+9cos^2t
Reorganizando, como sen^2t+cos^2t=1,
|r'(t)|^2 =1+l(sen^2t+9cos^2tr) =1+l(1+8cos^2tr) =2+8cos^2t
Logo a velocidade é
|r'(t)| =raiz2+8cos^2t =raiz2,raiz1+4cos^2t

Passo 4

Substituindo na integral de comprimento, obtemos
L=integral-5^5raiz2+8cos^2t;dt =raiz2integral-5^5raiz1+4cos^2t;dt
Como o integrando raiz1+4cos^2t é função par,
L =2raiz2integral0^5raiz1+4cos^2t;dt

Passo 5

A integral integral0^5raiz1+4cos^2t,dt não tem primitiva elementar, sendo um caso de integral elíptica. Mantemos então a resposta em forma de integral ou podemos aproximar numericamente.

Resposta

L =2raiz2integral0^5raiz1+4cos^2t;dtapprox24,5

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