Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty n!e^n^2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^inftyn!e^n^2
Como todos os termos são positivos, um caminho natural é usar o teste da razão, que compara an+1 com an.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série de termos positivos sum an, se
L = limntoinftyan+1an
existe e L<1, então a série converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Seja
an = n!e^n^2
Então
an+1an = (n+1)!e^(n+1)^2n!e^n^2 = (n+1),e^n^2 - (n^2 + 2n +1) = (n+1),e^-2n-1

Passo 4

Agora avaliamos o limite
L = limntoinfty(n+1),e^-2n-1
Como e^2n cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em n, temos
L = 0
Evidentemente 0 < 1.

Passo 5

Pelo teste da razão, como L=0<1, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).

Exercícios relacionados