Teste a convergência ou divergência das séries.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
Como todos os termos são positivos, um caminho natural é usar o teste da razão, que compara
com
.
Passo 2
O teste da razão diz que, para uma série de termos positivos
, se
existe e
, então a série converge absolutamente (e, portanto, converge).
Passo 3
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Seja
Então
Passo 4
Agora avaliamos o limite
Como
cresce muito mais rápido que qualquer polinômio em
, temos
Evidentemente
.
Passo 5
Pelo teste da razão, como
, a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência.
Resposta
A série converge (convergência absoluta pelo teste da razão).