O enunciado pede para testar a convergência da série
O conteúdo principal aqui é o teste de convergência por comparação, usando o fato de que é limitado em módulo por 1. Vamos verificar a convergência absoluta para depois concluir sobre a convergência da série original.
Passo 2
Para verificar a convergência absoluta, calculamos o módulo do termo geral e o comparamos a uma série geométrica convergente. Note que
A última desigualdade vale porque 1+2^n>=2^n.
Passo 3
A série
sumn=1^infty12^n
é uma série geométrica de razão r=tfrac12, com 0<r<1, logo converge. Pelo teste da comparação para séries de termos não negativos, a série dos módulos
sumn=1^infty|sin(2n)1+2^n|
converge. Isso implica que a série original converge absolutamente.
Resposta
A série converge absolutamente e, portanto, converge.