Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty sen 2 n1+2^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty sin(2n)1+2^n
O conteúdo principal aqui é o teste de convergência por comparação, usando o fato de que sin(2n) é limitado em módulo por 1. Vamos verificar a convergência absoluta para depois concluir sobre a convergência da série original.

Passo 2

Para verificar a convergência absoluta, calculamos o módulo do termo geral e o comparamos a uma série geométrica convergente. Note que
|sin(2n)1+2^n| <= 11+2^n <= 12^n
A última desigualdade vale porque 1+2^n>=2^n.

Passo 3

A série
sumn=1^infty12^n
é uma série geométrica de razão r=tfrac12, com 0<r<1, logo converge. Pelo teste da comparação para séries de termos não negativos, a série dos módulos
sumn=1^infty|sin(2n)1+2^n|
converge. Isso implica que a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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