Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=0^infty n!2 cdot 5 cdot 8 cdots(3 n+2)

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=0^infty n!2cdot5cdot8cdots(3n+2)
O conteúdo utilizado será o teste da razão para séries de termos positivos.

Passo 2

Identificamos o termo geral da série como
an = n!prodk=0^n(3k+2)
A ideia é calcular a razão an+1/an.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, temos
an+1an = ;(n+1)!;/;prodk=0^n+1(3k+2)!;n!/prodk=0^n(3k+2) = n+13(n+1)+2 = n+13n+5

Passo 4

Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinftyn+13n+5 = 13
Como esse limite é menor que 1, pelo teste da razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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