Determine o comprimento da curva dada.
alpha(t)=(t^2, sin t-t cos t, cos t+t sin t), 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado nos dá a curva alphacolon[0,pi]toR^3 definida por
alpha(t)=l(t^2,;sin t - tcos t,;cos t + tsin tr)
e pede o comprimento de arco. Para isso usamos a fórmula
L=integrala^bl|alpha'(t)r|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente:
x(t)=t^2implies x'(t)=2t, y(t)=sin t - tcos timplies y'(t)=cos t -(cos t - tsin t)=tsin t,
z(t)=cos t + tsin timplies z'(t)=-sin t+(sin t + tcos t)=tcos t
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alpha'(t)=(2t,;tsin t,;tcos t)

Passo 3

Calculamos a norma de alpha'(t):
|alpha'(t)| =raiz(2t)^2+(tsin t)^2+(tcos t)^2 =raiz4t^2+t^2(sin^2t+cos^2t) =raiz5t^2 =raiz5,t,
já que t>=0 em [0,pi].

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento:
L=integral0^pi|alpha'(t)|,dt =integral0^piraiz5,t,dt =raiz5integral0^pit,dt =raiz5,l[tfract^22r]0^pi =pi^2raiz52

Resposta

pi^2raiz52

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