Reparametrize a curva em relação ao comprimento de arco do ponto onde t=0 na direção crescente de t
gamma(t)=(3 sin t, 4 t, 3 cos t).

Passo 1

O enunciado pede que a curva
gamma(t) = (3sin t,;4t,;3cos t)
seja reparametrizada em função do comprimento de arco s, medido a partir de t=0 na direção de t crescente.
Conteúdo: definição de comprimento de arco
s(t)=integral0^t|gamma'(u)|,du
e reparametrização invertendo s(t).

Passo 2

Calcular a derivada gamma'(t) e sua norma.
gamma'(t) = (3cos t,;4,;-3sin t)
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|gamma'(t)| = raiz(3cos t)^2 + 4^2 + (-3sin t)^2 = raiz9(cos^2 t + sin^2 t) + 16 = raiz9 + 16 = 5

Passo 3

Como a velocidade é constante igual a 5, o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t) = integral0^t 5,du = 5t
Invertendo, temos
t = s5, s>=0

Passo 4

Substituir t = tfracs5 em gamma(t) para obter a parametrização por arco:
tildegamma(s) = gammal(tfracs5r) = l(3sin!l(tfracs5r),; 4,tfracs5,; 3cos!l(tfracs5r)r), s>=0

Resposta

tildegamma(s) = l(3sin(tfracs5),; tfrac4s5,; 3cos(tfracs5)r), s>=0

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