Determine o comprimento da curva dada.
beta(t)=(t^2, 2 t, ln t), 1 <= t <= e

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica beta(t) = (t^2,2t,ln t) para 1 <= t <= e. O conteúdo utilizado é a fórmula de comprimento de arco em R^3:
L = integrala^b |beta'(t)|,dt

Passo 2

Calculamos a derivada:
beta'(t) = l(2t,,2,,1/tr)
Logo, a norma é
|beta'(t)| = raiz(2t)^2 + 2^2 + (1/t)^2 = raiz4t^2 + 4 + tfrac1t^2

Passo 3

Observamos que
4t^2 + 4 + tfrac1t^2 = (2t)^2 + 2cdot(2t)cdottfrac1t + tfrac1t^2 = l(2t + tfrac1tr)^2,
portanto
|beta'(t)| = 2t + tfrac1t

Passo 4

Montamos e calculamos o integral:
L = integral1^el(2t + tfrac1tr),dt = integral1^e2t,dt ;+;integral1^etfrac1t,dt
Calculando cada parte:
integral 2t,dt = t^2, integral tfrac1t,dt = ln t
Logo
L = l[t^2 + ln tr]1^e = l(e^2 + ln er) - l(1 + ln 1r) = e^2 + 1 - 1 - 0 = e^2

Resposta

e^2

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