Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.
x=cos t ; y=cos 3 t ; (12,-1)

Passo 1

O exercício pede a reta tangente à curva parametrizada por x=cos t, y=cos3t no ponto (tfrac12,-1). O conteúdo envolve derivadas de funções paramétricas e a fórmula da reta tangente: x=x0+x'(t0)s, y=y0+y'(t0)s.

Passo 2

Primeiro, achamos o valor de t0 tal que x(t0)=cos t0=tfrac12 e y(t0)=cos(3t0)=-1. Da condição cos t0=tfrac12 vem t0=pmtfracpi3+2pi k. Testando t0=tfracpi3, temos cos(3cdottfracpi3)=cospi=-1, então t0=tfracpi3 serve.

Passo 3

Em seguida, calculamos as derivadas:

Passo 4

x'(t)=-sin t, y'(t)=-3sin(3t)

Passo 5

Avaliando em t0=tfracpi3:

Passo 6

x'l(tfracpi3r)=-sintfracpi3=-tfracraiz32, y'l(tfracpi3r)=-3sinpi=0

Passo 7

O vetor direção da reta tangente é (-tfracraiz32,0). Usando o ponto (x0,y0)=(tfrac12,-1) e parâmetro s, as equações são:

Passo 8

x=tfrac12-tfracraiz32,s, y=-1

Resposta

x(s)=12-raiz32,s, y(s)=-1

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