Determine o comprimento da curva dada. \mathbf{r}(t)=12 t \mathbf{i}+8 t^{3 / 2} \mathbf{j}+3 t^{2} \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica \mathbf{r}(t)=12t\,\mathbf{i}+8t^{3/2}\,\mathbf{j}+3t^2\,\mathbf{k} para 0\le t\le1. O conteúdo aqui é comprimento de curva em \mathbb{R}^3, que usamos a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.
Passo 2
Vamos derivar cada componente de \mathbf{r}(t). Temos