Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=12 t \mathbf{i}+8 t^{3 / 2} \mathbf{j}+3 t^{2} \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica \mathbf{r}(t)=12t\,\mathbf{i}+8t^{3/2}\,\mathbf{j}+3t^2\,\mathbf{k} para 0\le t\le1. O conteúdo aqui é comprimento de curva em \mathbb{R}^3, que usamos a fórmula
L=\int_{a}^{b}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Vamos derivar cada componente de \mathbf{r}(t). Temos
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(12t,\,8t^{3/2},\,3t^2\bigr) =(12,\;8\cdot\tfrac{3}{2}t^{1/2},\;6t) =(12,\;12\sqrt{t},\;6t).

Passo 3

Calculamos a norma de \mathbf{r}'(t):
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{12^2+(12\sqrt{t})^2+(6t)^2} =\sqrt{144+144t+36t^2} =\sqrt{36\bigl(t^2+4t+4\bigr)} =6(t+2),
pois em 0\le t\le1 temos t+2>0.

Passo 4

Agora integramos de 0 a 1:
L=\int_{0}^{1}6(t+2)\,dt =6\int_{0}^{1}(t+2)\,dt =6\Bigl[\tfrac{t^2}{2}+2t\Bigr]_{0}^{1} =6\Bigl(\tfrac{1}{2}+2\Bigr) =6\cdot\tfrac{5}{2} =15.

Resposta

O comprimento da curva é 15.

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