Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=\mathbf{i}+t^{2} \mathbf{j}+t^{3} \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva \mathbf{r}(t)=\mathbf{i}+t^{2}\mathbf{j}+t^{3}\mathbf{k} para 0\le t\le1.
O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco de uma curva espacial:
L=\int_{a}^{b}\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada \mathbf{r}'(t).
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1,\,t^{2},\,t^{3}\bigr) =(0,\,2t,\,3t^{2}).

Passo 3

Determinamos a norma de \mathbf{r}'(t).
\bigl\lVert \mathbf{r}'(t)\bigr\rVert =\sqrt{0^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}} =\sqrt{4t^{2}+9t^{4}} =t\sqrt{4+9t^{2}},
usando t\ge0 para fatorar t.

Passo 4

Montamos o integral do comprimento L.
L=\int_{0}^{1}t\sqrt{4+9t^{2}}\;dt.

Passo 5

Fazemos a substituição u=4+9t^{2}, logo du=18t\,dt e t\,dt=du/18.
Quando t=0, u=4; quando t=1, u=13.
L=\int_{u=4}^{13}\sqrt{u}\,\frac{du}{18} =\frac{1}{18}\int_{4}^{13}u^{\tfrac12}du =\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}\Big|_{4}^{13} =\frac{1}{27}\,u^{\tfrac32}\Big|_{4}^{13}.

Passo 6

Aplicando os limites em u obtemos
L =\frac{1}{27}\bigl(13^{\tfrac32}-4^{\tfrac32}\bigr).

Resposta

L=\frac{13\sqrt{13}-8}{27}.

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