Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=\left\langle t^{3}, 6 t, 3 t^{2}\right\rangle, \quad 0 \leqslant t \leqslant 3

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t)=\langle t^{3},6t,3t^{2}\rangle para 0\le t\le3 e pede o comprimento.
O conteúdo usado é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica em \mathbb{R}^3:
s=\int_{a}^{b}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada componente a componente:
\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle 3t^{2},\,6,\,6t\bigr\rangle.

Passo 3

Em seguida obtemos o módulo de \mathbf{r}'(t):
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(3t^{2})^{2}+6^{2}+(6t)^{2}} =\sqrt{9t^{4}+36+36t^{2}} =\sqrt{9\bigl(t^{4}+4t^{2}+4\bigr)} =\sqrt{9\,(t^{2}+2)^{2}} =3\,(t^{2}+2),
já que t^{2}+2>0 para todo t.

Passo 4

Agora montamos a integral de 0 a 3:
s=\int_{0}^{3}3\,(t^{2}+2)\,dt =3\int_{0}^{3}(t^{2}+2)\,dt =3\Bigl[\frac{t^{3}}{3}+2t\Bigr]_{0}^{3} =3\Bigl(9+6\Bigr) =45.

Resposta

O comprimento da curva é 45.

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