Determine o comprimento da curva dada. \mathbf{r}(t)=\left\langle t^{3}, 6 t, 3 t^{2}\right\rangle, \quad 0 \leqslant t \leqslant 3
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t)=\langle t^{3},6t,3t^{2}\rangle para 0\le t\le3 e pede o comprimento.
O conteúdo usado é a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica em \mathbb{R}^3:
s=\int_{a}^{b}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada componente a componente: