Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=\sqrt{2} t \mathbf{i}+e^{t} \mathbf{j}+e^{-t} \mathbf{k}, \quad 0 \leqslant t \leqslant 1

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
\mathbf{r}(t)=\sqrt{2}\,t\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}+e^{-t}\,\mathbf{k}, \quad 0\le t\le1.
O conteúdo é comprimento de arco de curva no espaço, que se obtém por
L=\int_{0}^{1}\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada
\mathbf{r}'(t) =\frac{d}{dt}\bigl(\sqrt{2}\,t\,\mathbf{i}\bigr) +\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\,\mathbf{j}\bigr) +\frac{d}{dt}\bigl(e^{-t}\,\mathbf{k}\bigr) =\sqrt{2}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}-e^{-t}\,\mathbf{k}.

Passo 3

A norma de \mathbf{r}'(t) é
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\| =\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(e^{t})^{2}+(-e^{-t})^{2}} =\sqrt{2+e^{2t}+e^{-2t}}.
Como e^{2t}+e^{-2t}=2\operatorname{cosh}(2t) e 2+2\operatorname{cosh}(2t)=4\operatorname{cosh}^{2}(t), temos
\bigl\|\mathbf{r}'(t)\bigr\|=2\operatorname{cosh}(t).

Passo 4

Substituindo no integral,
L=\int_{0}^{1}2\operatorname{cosh}(t)\,dt =2\bigl[\operatorname{sinh}(t)\bigr]_{0}^{1} =2\operatorname{sinh}(1).

Resposta

O comprimento da curva é 2\operatorname{sinh}(1).

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