Determine o comprimento da curva dada.
\mathbf{r}(t)=\langle 2 \cos t, \sqrt{5} t, 2 \operatorname{sen} t\rangle,-2 \leqslant t \leqslant 2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos determinar o comprimento da curva dada por \mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;\sqrt{5}\,t,\;2\sin t\rangle
no intervalo -2\le t\le2.
O conteúdo é comprimento de curva de função vetorial e vamos usar a fórmula
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.

Passo 2

Calcular a derivada vetorial \mathbf{r}'(t). Derivando cada componente em relação a t, obtemos
\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle \tfrac{d}{dt}(2\cos t),\;\tfrac{d}{dt}(\sqrt{5}\,t),\;\tfrac{d}{dt}(2\sin t)\bigr\rangle =\langle -2\sin t,\;\sqrt{5},\;2\cos t\rangle.

Passo 3

Calcular a norma de \mathbf{r}'(t):
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{(-2\sin t)^2+(\sqrt{5})^2+(2\cos t)^2} =\sqrt{4\sin^2 t+5+4\cos^2 t} =\sqrt{4(\sin^2 t+\cos^2 t)+5} =\sqrt{4+5} =\sqrt{9} =3.
Note que deu constante, o que simplifica a integral.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento:
L=\int_{-2}^{2}\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt =\int_{-2}^{2}3\,dt =3\bigl[t\bigr]_{-2}^{2} =3\,(2-(-2)) =3\cdot4 =12.

Resposta

O comprimento da curva é 12.

Exercícios relacionados