Questão 2 ( 1,0 ponto). Prove que a função f(x)=x para x racional e f(x)=-x para x irracional só é contínua em x=0, mas |f(x)| é contínua para todo x.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= \begin{cases} x,&x\in\mathbb{Q},\\\\ -\,x,&x\notin\mathbb{Q}, \end{cases}
e pede para mostrar que f é contínua somente em x=0 e que \lvert f(x)\rvert é contínua em todo x. O conteúdo aqui é definição de limite e continuidade, além de usar a densidade dos racionais e irracionais em \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos verificar a continuidade em x=0. Como f(0)=0, basta mostrar que
\lvert f(x)-f(0)\rvert=\lvert f(x)\rvert
tende a zero quando x\to0. Mas, seja x racional ou irracional, temos sempre f(x)=\pm x, logo
\lvert f(x)\rvert=\lvert x\rvert.
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon. Se \lvert x-0\rvert<\delta então \lvert f(x)-f(0)\rvert=\lvert x\rvert<\delta=\varepsilon. Assim, \lim_{x\to0}f(x)=0 e f é contínua em 0.

Passo 3

Agora considere um ponto x_0\neq0. Como \mathbb{Q} e \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} são densos, podemos escolher duas sequências x_n\in\mathbb{Q} e y_n\notin\mathbb{Q} tais que x_n\to x_0 e y_n\to x_0. Então
\lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}x_n=x_0, \quad \lim_{n\to\infty}f(y_n)=\lim_{n\to\infty}(-y_n)=-\,x_0.
Como x_0\neq -\,x_0, o limite de f(x) quando x\to x_0 não existe, logo f não é contínua em x_0.

Passo 4

Por fim, note que para todo x
\lvert f(x)\rvert=\lvert\pm x\rvert=\lvert x\rvert,
e sabemos que a função x\mapsto\lvert x\rvert é contínua em qualquer ponto de \mathbb{R}. Portanto, \lvert f(x)\rvert é contínua para todo x.

Resposta

A função f é contínua somente em x=0 e \lvert f(x)\rvert é contínua em todo x\in\mathbb{R}.

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