e pede para mostrar que f é contínua somente em x=0 e que \lvert f(x)\rvert é contínua em todo x. O conteúdo aqui é definição de limite e continuidade, além de usar a densidade dos racionais e irracionais em \mathbb{R}.
Passo 2
Vamos verificar a continuidade em x=0. Como f(0)=0, basta mostrar que
\lvert f(x)-f(0)\rvert=\lvert f(x)\rvert
tende a zero quando x\to0. Mas, seja x racional ou irracional, temos sempre f(x)=\pm x, logo
\lvert f(x)\rvert=\lvert x\rvert.
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon. Se \lvert x-0\rvert<\delta então \lvert f(x)-f(0)\rvert=\lvert x\rvert<\delta=\varepsilon. Assim, \lim_{x\to0}f(x)=0 e f é contínua em 0.
Passo 3
Agora considere um ponto x_0\neq0. Como \mathbb{Q} e \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} são densos, podemos escolher duas sequências x_n\in\mathbb{Q} e y_n\notin\mathbb{Q} tais que x_n\to x_0 e y_n\to x_0. Então