Determine o comprimento da curva y=\frac{x^{2}}{4}-\ln (\sqrt{x}) de x=1 a x=\mathrm{e}.
\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{2}
\frac{\mathrm{e}^{2}-1}{4}
\frac{(\mathrm{e}+1)^{2}}{4}
\frac{(\mathrm{e}-1)^{2}}{4}
\frac{\mathrm{e}^{2}+1}{4}
\frac{\mathrm{e}^{2}+1}{2}

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
y=\frac{x^{2}}{4}-\ln\bigl(\sqrt{x}\bigr)
no intervalo de x=1 a x=\mathrm{e}. O conteúdo é comprimento de arco de uma função y=f(x), que usa a fórmula
L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\bigl(f'(x)\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calcular a derivada de
y=\frac{x^{2}}{4}-\tfrac12\ln x.
Temos
y'=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x^{2}}{4}\Bigr)-\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac12\ln x\Bigr) =\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}.

Passo 3

Montar o integrando
1+(y')^{2} =1+\Bigl(\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}\Bigr)^{2} =1+\frac{(x-1/x)^{2}}{4} =\frac{4+(x-1/x)^{2}}{4} =\frac{(x+1/x)^{2}}{4}.
Logo
\sqrt{1+(y')^{2}} =\frac{x+1/x}{2}.

Passo 4

O comprimento é
L =\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{x+1/x}{2}\;dx =\frac{1}{2}\int_{1}^{\mathrm{e}}x\,dx +\frac{1}{2}\int_{1}^{\mathrm{e}}\frac{1}{x}\,dx.
Calculando cada integral:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}, \quad \int\frac{1}{x}\,dx=\ln x.
Portanto,
L =\frac{1}{2}\Bigl[\frac{x^{2}}{2}+\ln x\Bigr]_{1}^{\mathrm{e}} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{\mathrm{e}^{2}}{2}+1-\frac{1}{2}\Bigr) =\frac{\mathrm{e}^{2}+1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{2}+1}{4}

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