De uma tabela de integrais, temos
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}}=-\frac{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}{a^{2} x}+C.
Então \int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{2-5 x^{2}}} d x, pela substituição u=\sqrt{5} x, é igual a
Escolha uma opção:
a. -\frac{\sqrt{2-5 x^{2}}}{x^{2}}+C
b. -\frac{1}{x \sqrt{2-5 x^{2}}}+C
c. -\frac{\sqrt{2-5 x^{2}}}{2 x}+C
d. -\frac{\sqrt{2-5 x^{2}}}{2 \sqrt{5} x}+C
e. -\frac{\sqrt{10-25 x^{2}}}{2 x}+C

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{2 - 5x^{2}}}
usando a integral tabelada
\int \frac{d t}{t^{2}\sqrt{a^{2}-t^{2}}} =-\frac{\sqrt{a^{2}-t^{2}}}{a^{2}\,t}+C
e a substituição u=\sqrt{5}\,x.

Passo 2

Fazendo u=\sqrt{5}\,x temos
du=\sqrt{5}\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx=\frac{du}{\sqrt{5}}, \quad x=\frac{u}{\sqrt{5}}
e \sqrt{2-5x^{2}} =\sqrt{2-u^{2}}.
Substituindo na integral original:
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{2-5x^{2}}} =\int \frac{\tfrac{du}{\sqrt{5}}} {\bigl(\tfrac{u}{\sqrt{5}}\bigr)^{2}\, \sqrt{2-u^{2}}} =\int \frac{\tfrac{du}{\sqrt{5}}}{\tfrac{u^{2}}{5}\,\sqrt{2-u^{2}}} =\sqrt{5}\,\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{2-u^{2}}}.

Passo 3

Agora a integral em u é do tipo \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}\sqrt{a^{2}-u^{2}}}
com a^{2}=2. Pela tabela:
\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{2-u^{2}}} =-\frac{\sqrt{2-u^{2}}}{2\,u}+C.
Multiplicando por \sqrt{5} temos
\sqrt{5}\,\int \frac{du}{u^{2}\sqrt{2-u^{2}}} =-\frac{\sqrt{5}\,\sqrt{2-u^{2}}}{2\,u}+C.

Passo 4

Voltando a x com u=\sqrt{5}\,x e \sqrt{2-u^{2}}=\sqrt{2-5x^{2}}:
-\frac{\sqrt{5}\,\sqrt{2-u^{2}}}{2\,u} =-\frac{\sqrt{5}\,\sqrt{2-5x^{2}}}{2\,(\sqrt{5}\,x)} =-\frac{\sqrt{2-5x^{2}}}{2\,x}+C.

Resposta

c. -\displaystyle\frac{\sqrt{2-5x^{2}}}{2\,x}+C

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