(6,0 \mathrm{pts}) Considere a função f(x)=(1+x)^{k}.
(a) (4,0) Determinar a série de Maclaurin { }^{7} de f(x).
(b) (6,0) Achar o raio de convergência da série anterior.

Passo 1

O enunciado pede dois itens para a função f(x)=(1+x)^k:
\bullet (a) encontrar sua série de Maclaurin, isto é, a expansão em torno de x=0 via a fórmula de Taylor.
\bullet (b) determinar o raio de convergência dessa série.
Vamos usar a definição de série de Taylor em x=0 e, depois, o teste da razão para o raio.

Passo 2

Para achar a série de Maclaurin, precisamos do geral dos coeficientes
a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.
Como
f(x)=(1+x)^k,
a n-ésima derivada é
f^{(n)}(x)=k(k-1)\cdots(k-n+1)\,(1+x)^{\,k-n}.
Em particular, em x=0,
f^{(n)}(0)=k(k-1)\cdots(k-n+1).
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a_n=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!} \;=\;\binom{k}{n}.

Passo 3

Substituindo em
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,x^n,
obtemos a série de Maclaurin
(1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n}\,x^n.

Passo 4

Para o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão aos termos c_n=\binom{k}{n}x^n:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\binom{k}{n+1}}{\binom{k}{n}}\,x\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{k-n}{n+1}\,x\right| =\lvert x\rvert.
Converge se \lvert x\rvert<1, portanto
R = 1.

Resposta

(a) \displaystyle (1+x)^k = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{k}{n}\,x^n.
(b) O raio de convergência é R=1.

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