Determine o comprimento da curva \mathrm{r}(t)=(2 t, t^{2}, t^{3}), onde 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica \mathbf{r}(t) = (2t,\,t^2,\,t^3) para 0\le t\le1.
O conteúdo aqui é comprimento de arco de uma curva em \mathbb{R}^3. Vamos usar a fórmula
L = \int_{a}^{b} \big\|\mathbf{r}'(t)\big\|\,dt
com a=0 e b=1.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(2,\;2t,\;3t^2\bigr).

Passo 3

Agora encontramos a norma de \mathbf{r}'(t):
\big\|\mathbf{r}'(t)\big\| = \sqrt{2^2 + (2t)^2 + (3t^2)^2} = \sqrt{4 + 4t^2 + 9t^4}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do comprimento de arco, obtemos
L = \int_{0}^{1} \sqrt{9t^4 + 4t^2 + 4}\;dt.
Esse integral não se expressa em termos de funções elementares, então faremos uma aproximação numérica.

Passo 5

Usando, por exemplo, a regra de Simpson com subdivisão em 8 intervalos iguais de comprimento h=0,125, obtemos
L \approx 2{,}5986.
Logo, o comprimento da curva é aproximadamente 2{,}60.

Resposta

O comprimento da curva é
L = \int_{0}^{1} \sqrt{9t^4 + 4t^2 + 4}\;dt \approx 2{,}60.

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