Localize o centroide de um semicírculo de raio R

Passo 1

O enunciado pede para localizar o centroide de um semicírculo de raio R. O conteúdo envolve cálculo de centroide de áreas planas, usando a definição
\bar x=\frac{1}{A}\iint x\,dA,\quad \bar y=\frac{1}{A}\iint y\,dA,
além da área do semicírculo A=\tfrac{\pi R^2}{2}.

Passo 2

Vamos colocar o eixo x ao longo do diâmetro do semicírculo e o eixo y perpendicular a ele, apontando para cima, de modo que a região é
\{(x,y)\mid -R\le x\le R,\;0\le y\le\sqrt{R^2-x^2}\}.
Por simetria em relação ao eixo y, temos
\bar x=0.

Passo 3

Para encontrar \bar y, usamos
\bar y=\frac{1}{A}\iint_{\text{semicírculo}}y\,dA =\frac{1}{A}\int_{x=-R}^{R}\int_{y=0}^{\sqrt{R^2-x^2}}y\,dy\,dx.í

Passo 4

Primeiro calculemos o integral interno em y:
\int_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}}y\,dy =\Bigl[\tfrac{1}{2}y^2\Bigr]_{0}^{\sqrt{R^2-x^2}} =\tfrac{1}{2}\bigl(R^2-x^2\bigr).
Logo o integral duplo vira
\iint y\,dA =\int_{-R}^{R}\tfrac{1}{2}\bigl(R^2-x^2\bigr)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx.
E
\int_{-R}^{R}(R^2-x^2)\,dx =2\Bigl[R^2x-\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{R} =2\bigl(R^3-\tfrac{R^3}{3}\bigr) =\tfrac{4R^3}{3}.
Portanto
\iint y\,dA =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{4R^3}{3} =\tfrac{2R^3}{3}.

Passo 5

Como a área do semicírculo é
A=\frac{\pi R^2}{2},
ficamos com
\bar y =\frac{\displaystyle \tfrac{2R^3}{3}}{\displaystyle \tfrac{\pi R^2}{2}} =\frac{2R^3}{3}\cdot\frac{2}{\pi R^2} =\frac{4R}{3\pi}.

Resposta

O centroide do semicírculo situa-se no eixo de simetria, a uma distância
\bar x=0,\quad \bar y=\frac{4R}{3\pi}
medida a partir do diâmetro.

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