Determine o comprimento da curva parametrizada.
x=2 t, y=4 sin 3 t, z=4 cos 3 t ; 0 <= t <= 2 pi;

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada em R^3 por
x=2t, y=4sin(3t), z=4cos(3t),
para 0<= t<=2pi, e pede o comprimento dessa curva. Vamos usar a fórmula de comprimento de curva parametrizada:
L=integrala^braizl(dxdtr)^2+l(dydtr)^2+l(dzdtr)^2;dt

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada componente:
dxdt=2,
dydt=4cdot3cos(3t)=12cos(3t),
dzdt=4cdot(-3)sin(3t)=-12sin(3t).
Logo, o integrando (a velocidade) é
raiz(2)^2+[12cos(3t)]^2+[-12sin(3t)]^2 =raiz4+144cos^2(3t)+144sin^2(3t)

Passo 3

Usando a identidade trigonométrica cos^2(3t)+sin^2(3t)=1, simplificamos o integrando a
raiz4+144cdot1=raiz148=2raiz37

Passo 4

Como a velocidade é constante, o comprimento é
L=integral0^2pi2raiz37;dt =2raiz37,(2pi-0) =4piraiz37

Resposta

4piraiz37

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