Seja f(x, y)= 0 & se y <= 0 ou y >= x^2 1 & se 0<y<x^2
Mostre que f(x, y) 0 quando (x, y) (0,0) por qualquer caminho y=m x passando por (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= 0,&se y<=0 ou y>= x^2, 1,&se 0<y<x^2,
e pede para mostrar que, ao aproximar (x,y)to(0,0) ao longo de qualquer reta y=mx, o valor de f(x,y) tende a 0. O conteúdo aqui é estudar limites ao longo de trajetórias fixas e usar desigualdades para forçar f(x,y)=0 para x pequeno.

Passo 2

Parametrizamos pela reta y=mx. Logo queremos provar que
limxto0fl(x,,m xr)=0
Para isso, basta encontrar de<a>0 tal que, para 0<|x|<de<a, tenhamos sempre f(x,mx)=0.

Passo 3

Escolhemos
de<a = min1,,|m|
Então, quando 0<|x|<de<a, vale simultaneamente |x|<1 e |x|<|m|. Vamos examinar dois casos de sinal de m.

Passo 4

Caso m>=0:
  • Se x>0, então y=mx>=0. Como |x|<|m|equiv m, temos m x >= x^2 Long<=ftrightarrow y>= x^2, e assim f(x,mx)=0.
  • Se x<0, então y=mx<=0, logo também f(x,mx)=0.

Passo 5

Caso m<0:
  • Se x>0, então y=mx<=0, logo f(x,mx)=0.
  • Se x<0, então y=mx>0. Como |x|<|m|, temos x>m (pois m=-|m|), o que implica m x >= x^2 Long<=ftrightarrow y>= x^2, e portanto f(x,mx)=0.

Passo 6

Em todos os casos, para 0<|x|<de<a a função vale 0. Logo
limxto0fl(x,,m xr)=0

Resposta

limxto0f(x,mx)=0 para todo m.

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