Determine a curvatura em P de:
y=cos 2 x, P(0,1);

Passo 1

No enunciado temos a curva y=cos2x e o ponto P(0,1). O objetivo é calcular a curvatura kappa nesse ponto. Para isso usamos a fórmula da curvatura de uma curva dada por y(x):
kappa(x) = l|y''(x)r|l(1 + (y'(x))^2r)^3/2
Precisamos então achar y'(x) e y''(x) e avaliar em x=0.

Passo 2

Calculemos a primeira derivada de y. Como y(x)=cos2x,
y'(x)=ddxcos2x=-2sin2x

Passo 3

Agora a segunda derivada:
y''(x)=ddxl(-2sin2xr)=-2cdot2cos2x=-4cos2x

Passo 4

No ponto x=0 temos
y'(0)=-2sin0=0,
y''(0)=-4cos0=-4
Substituindo na fórmula da curvatura:
kappa(0)=lvert -4rvertl(1+0^2r)^3/2=41=4

Resposta

A curvatura no ponto P(0,1) é kappa=4.

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