Determine o domínio de F. Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2.
F(t)=sin 5 t i+cos 4 t j-e^-2 t k.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função vetorial . Além disso, temos que calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função em relação a , ou seja, e .
Conteúdo envolvido: Funções vetoriais, domínio de funções, derivadas de funções vetoriais.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de funções trigonométricas, exponenciais, regras de derivação e conceitos de domínio em funções matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (no caso, ) para os quais a função está definida.
Observando , vemos que:
  • e são funções trigonométricas que estão definidas para todo número real .
  • é uma função exponencial que também está definida para todo número real .
Portanto, não há restrições sobre os valores de que podemos usar. Assim, o domínio de é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de dFdt = ddt [sin(5t)] i + ddt [cos(4t)] j + ddt [-e^-2t] k em relação a ddt [sin(5t)] = 5 cos(5t) , ou seja, ddt [cos(4t)] = -4 sin(4t) .
Sabemos que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma de suas componentes separadamente. As regras de derivação que vamos usar são:
  • ddt [-e^-2t] = -(-2) e^-2t = 2 e^-2t
  • dFdt = 5 cos(5t) i - 4 sin(4t) j + 2 e^-2t k
Aplicando essas regras a cada componente de :
Calculando cada derivada:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de ddt [cos(kt)] = -k sin(kt) em relação a ddt [sin(kt)] = k cos(kt) , ou seja, ddt [e^kt] = k e^kt .
Para isso, vamos derivar novamente cada componente da primeira derivada ddt [5 cos(5t)] = -25 sin(5t) .
Aplicando as mesmas regras de derivação:
ddt [-4 sin(4t)] = -16 cos(4t)
ddt [2 e^-2t] = -4 e^-2t
d^2Fdt^2 = -25 sin(5t) i - 16 cos(4t) j - 4 e^-2t k
Derivando cada componente:
Portanto:

Resposta

  • Domínio de dFdt = 5 cos(5t) i - 4 sin(4t) j + 2 e^-2t k : Todos os números reais ( d^2Fdt^2 = -25 sin(5t) i - 16 cos(4t) j - 4 e^-2t k ).
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:

Exercícios relacionados