Determine o domínio de
. Calcule
e
.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função vetorial
. Além disso, temos que calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função em relação a
, ou seja,
e
.
Conteúdo envolvido: Funções vetoriais, domínio de funções, derivadas de funções vetoriais.
O que vamos precisar: Conhecimentos básicos de funções trigonométricas, exponenciais, regras de derivação e conceitos de domínio em funções matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (no caso,
) para os quais a função está definida.
Observando
, vemos que:
-
e são funções trigonométricas que estão definidas para todo número real . -
é uma função exponencial que também está definida para todo número real .
Portanto, não há restrições sobre os valores de
que podemos usar. Assim, o domínio de
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Sabemos que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada uma de suas componentes separadamente. As regras de derivação que vamos usar são:
Aplicando essas regras a cada componente de
:
Calculando cada derivada:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Para isso, vamos derivar novamente cada componente da primeira derivada
.
Aplicando as mesmas regras de derivação:
Derivando cada componente:
Portanto:
Resposta
-
Domínio de
: Todos os números reais ( ). -
Primeira derivada:
-
Segunda derivada: