Determine o comprimento da curva parametrizada.
x=e^t cos t, y=e^t, z=e^t sin t ; 0 <= t <= 2 pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o comprimento de uma curva parametrizada pelas funções:
x = e^t cos t, y = e^t, z = e^t sin t
no intervalo de t de 0 a 2pi . Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada, que envolve derivadas das funções que definem a curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de x , y e z em relação a t . Isso significa calcular dxdt , dydt e dzdt .
dxdt = ddt(e^t cos t) = e^t cos t - e^t sin t
dydt = ddt(e^t) = e^t
dzdt = ddt(e^t sin t) = e^t sin t + e^t cos t

Passo 3

Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas derivadas e somá-las. Isso faz parte da fórmula do comprimento da curva.
(dxdt)^2 = (e^t cos t - e^t sin t)^2 = e^2t (cos t - sin t)^2
(dydt)^2 = (e^t)^2 = e^2t
(dzdt)^2 = (e^t sin t + e^t cos t)^2 = e^2t (sin t + cos t)^2
Somando tudo:
(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 = e^2t (cos t - sin t)^2 + e^2t + e^2t (sin t + cos t)^2

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
(cos t - sin t)^2 + 1 + (sin t + cos t)^2
Explicando passo a passo:
(cos t - sin t)^2 = cos^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t
(sin t + cos t)^2 = sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t
Somando tudo:
(cos^2 t - 2 sin t cos t + sin^2 t) + 1 + (sin^2 t + 2 sin t cos t + cos^2 t) = 3
Portanto, a expressão simplifica para:
(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 = 3 e^2t

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
L = integral0^2pi raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt = integral0^2pi raiz3 e^2t , dt
Simplificando a raiz quadrada:
raiz3 e^2t = raiz3 e^t
Então, a integral fica:
L = raiz3 integral0^2pi e^t , dt = raiz3 [ e^t ]0^2pi = raiz3 (e^2pi - 1)

Resposta

O comprimento da curva é raiz3 ( e^2pi - 1 ) .

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