Determine o comprimento da curva parametrizada.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para calcular o comprimento de uma curva parametrizada pelas funções:
no intervalo de
de
a
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva parametrizada, que envolve derivadas das funções que definem a curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
. Isso significa calcular
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o quadrado de cada uma dessas derivadas e somá-las. Isso faz parte da fórmula do comprimento da curva.
Somando tudo:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Explicando passo a passo:
Somando tudo:
Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula do comprimento da curva:
Simplificando a raiz quadrada:
Então, a integral fica:
Resposta
O comprimento da curva é
.