Inicialmente, 80 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contento 400 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada a mesma taxa. Se a concentração de sal na solução que entra é 5 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante
, dado em minutos. Quantas gramas de sal estão presentes após 30 minutos?
Passo 1
O enunciado descreve uma mistura: começamos com 80
g de sal em 400
L de água, entra solução a 3
L/min com 5
g/L de sal e sai mistura bem homogênea à mesma vazão. O conteúdo é um modelo de EDO linear de mistura, e vamos precisar montar a equação diferencial para a quantidade de sal S(t).
g de sal em 400
L de água, entra solução a 3
L/min com 5
g/L de sal e sai mistura bem homogênea à mesma vazão. O conteúdo é um modelo de EDO linear de mistura, e vamos precisar montar a equação diferencial para a quantidade de sal S(t).
Passo 2
A taxa de entrada de sal é Q_in·C_in = 3·5 = 15
g/min. A taxa de saída de sal é Q_out·(S/Volume) = 3·(S(t)/400) = (3/400)
S(t)
g/min. Assim montamos a ODE:
g/min. A taxa de saída de sal é Q_out·(S/Volume) = 3·(S(t)/400) = (3/400)
S(t)
g/min. Assim montamos a ODE:
Passo 3
Reescrevendo na forma padrão de EDO linear:
Passo 4
O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando ambos os lados por
e integrando:
Passo 6
Logo
Passo 7
Usando a condição inicial
:
Passo 8
Portanto a solução geral é
Passo 9
Para
minutos: