Inicialmente, 80 gramas de sal são dissolvidos em um tanque contento 400 litros de água. Uma solução salina é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 3 litros por minuto, e a solução bem misturada é então drenada a mesma taxa. Se a concentração de sal na solução que entra é 5 gramas por litro, determine a quantidade de sal no tanque em qualquer instante t, dado em minutos. Quantas gramas de sal estão presentes após 30 minutos?

Passo 1

O enunciado descreve uma mistura: começamos com 80
g de sal em 400
L de água, entra solução a 3
L/min com 5
g/L de sal e sai mistura bem homogênea à mesma vazão. O conteúdo é um modelo de EDO linear de mistura, e vamos precisar montar a equação diferencial para a quantidade de sal S(t).

Passo 2

A taxa de entrada de sal é Q_in·C_in = 3·5 = 15
g/min. A taxa de saída de sal é Q_out·(S/Volume) = 3·(S(t)/400) = (3/400)
S(t)
g/min. Assim montamos a ODE:
dSdt = 15 - 3400S

Passo 3

Reescrevendo na forma padrão de EDO linear:
dSdt + 3400S = 15

Passo 4

O fator integrante é
mu(t)=e^integral (3/400)dt=e^3400t

Passo 5

Multiplicando ambos os lados por mu(t) e integrando:
S(t)e^3400t=integral 15e^3400tdt + C = 15cdot4003e^3400t + C

Passo 6

Logo
S(t)=2000 + Ce^-3400t

Passo 7

Usando a condição inicial S(0)=80:
80 = 2000 + C implies C = -1920

Passo 8

Portanto a solução geral é
S(t)=2000 - 1920e^-3400t

Passo 9

Para t=30 minutos:
S(30)=2000 - 1920e^-3400cdot30approx2000 - 1920e^-0.225approx466,9 g

Resposta

S(t)=2000 - 1920,e^-tfrac3400t e, após 30 minutos, há aproximadamente 467 gramas de sal.

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