Determine a curvatura em P de:
x=t-1, y=raizt ; P(3,2).

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica x = t – 1 e y = √t, pede a curvatura em P(3,2). Vamos usar o conteúdo de curvatura de curva paramétrica, que requer as derivadas x′, x′′, y′, y′′ e a fórmula
κ(t)=|xy−yx|(x^2+y^2)^3/2

Passo 2

Primeiro identificamos o parâmetro em P. Como x=P_x=3 e x=t−1, temos t_P=4. Confirmamos y=√4=2 bate com P_y. Agora calculamos as derivadas:
x=1, x=0, y=t^1/2implies y=12raiz t, y=-14t^3/2
Em t=4 isso dá y′(4)=1/4 e y′′(4)=-1/32.

Passo 3

Substituímos na fórmula de curvatura em t=4:
Numerador: |x′y′′−y′x′′|=|1·(−1/32)−(1/4)·0|=1/32.
Denominador:
(1^2+(1/4)^2)^3/2=(1+1/16)^3/2=(17/16)^3/2=17^3/216^3/2=17^3/264
Logo
κ(4)=1/3217^3/2/64=132·6417^3/2=217^3/2

Passo 4

Portanto, a curvatura em P é dada por κ§=2/17^{3/2}.

Resposta

kappa(P)=dfrac217^3/2

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