Resolva o Problema de Valor Inicial a seguir, sabendo que a EDO dada é homogénea.
c x^2 y^prime-x y-y^2=0 y(1)=-13

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
x^2y'-xy-y^2=0, y(1)=-tfrac13
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem homogênea, e vamos usar a substituição v=y/x para transformar em separável.

Passo 2

Primeiro isolamos y'. Da equação dada temos:
y' = xy+y^2x^2 = yx + l(yxr)^2

Passo 3

Agora aplicamos a substituição y=v x, logo y'=v + x,dv/dx. Substituindo na EDO original:
x^2(v + x,dv/dx) - x(vx) - (vx)^2 = 0

Passo 4

Simplificando:
x^2v + x^3dvdx - x^2v - x^2v^2 = 0

Passo 5

Cancelando x^2v e dividindo por x^2 (em xneq0):
xdvdx - v^2 = 0

Passo 6

Ou seja temos a equação separável:
dvv^2 = dxx

Passo 7

Integramos dos dois lados:
integral dvv^2 = integral dxx

Passo 8

-1v = ln|x| + C

Passo 9

Voltando a y com v=y/x:
-xy = ln|x| + C

Passo 10

Aplicamos a condição inicial y(1)=-tfrac13:
-1-1/3 = ln1 + C implies 3 = 0 + C implies C = 3

Passo 11

Assim a solução geral no PVI fica explícita:
-xy = ln|x| + 3

Passo 12

E isolando y chegamos à solução buscada.

Resposta

y(x) = -xln|x| + 3

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