Resolva o Problema de Valor Inicial a seguir, sabendo que a EDO dada é homogénea.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem homogênea, e vamos usar a substituição
para transformar em separável.
Passo 2
Primeiro isolamos
. Da equação dada temos:
Passo 3
Agora aplicamos a substituição
, logo
. Substituindo na EDO original:
Passo 4
Simplificando:
Passo 5
Cancelando
e dividindo por
(em
):
Passo 6
Ou seja temos a equação separável:
Passo 7
Integramos dos dois lados:
Passo 8
Passo 9
Voltando a
com
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 11
Assim a solução geral no PVI fica explícita:
Passo 12
E isolando
chegamos à solução buscada.