Determine o comprimento da curva parametrizada.
x=3 t^2 cos t, y=t^3, z=6 t ; 0 <= t <= 1;

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada por \r
, \r
, \r
para e pede o comprimento dessa curva. \r
O conteúdo aplicado aqui é a fórmula de comprimento de arco de curva no espaço, que diz \r

Passo 2

Calculamos as derivadas em relação a t: \r
dxdt=ddtl(3t^2cos tr)=6tcos t-3t^2sin t,
dydt=ddt(t^3)=3t^2,
dzdt=ddt(6t)=6

Passo 3

Formamos o integrando \r
\r
Para simplificar, note que \r
(6tcos t-3t^2sin t)^2=9,(2tcos t-t^2sin t)^2,(3t^2)^2=9t^4,6^2=36, \r
logo o somatório é \r

Passo 4

Portanto o comprimento é \r

Passo 5

Em geral esse integral não tem forma elementar simples, mas podemos avaliá-lo numericamente, por exemplo pelo método de Simpson, obtendo aproximadamente \r
;Lapprox6,25

Resposta

L=3integral0^1raiz(t^2sin t-2tcos t)^2+4;dtapprox6,25

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