Determine a curvatura em P de:
y=e^x^2, P(0,1);

Passo 1

O enunciado nos dá a curva definida por y = e^x^2 e pede a curvatura em P(0,1). Para isso vamos usar a fórmula de curvatura de uma função y=f(x):
kappa(x) = l|f''(x)r|l[1 + (f'(x))^2r]^3/2

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de f(x)=e^x^2 usando regra da cadeia:
f'(x) = 2x,e^x^2

Passo 3

Agora a segunda derivada, aplicando regra do produto em f'(x):
f''(x) = ddxl(2x,e^x^2r) = 2,e^x^2 + 2xcdot 2x,e^x^2 = 2,e^x^2l(1 + 2x^2r)

Passo 4

Avaliamos em x=0:
f'(0) = 2cdot0,e^0 = 0, f''(0) = 2,e^0l(1 + 0r) = 2

Passo 5

Substituindo em kappa(0):
kappa(0) = l|f''(0)r|l[1 + (f'(0))^2r]^3/2 = 2l[1 + 0^2r]^3/2 = 2

Resposta

A curvatura em P(0,1) é kappa = 2.

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