Determine o domínio de F. Calcule d Fd t e d^2 Fd t^2.
F(t)=raiz[3]t^2 i+cos t^2 j+3 t k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o domínio da função vetorial F(t) = raiz[3]t^2, i + cos t^2, j + 3 t, k e calcular a primeira e segunda derivadas em relação a t . O conteúdo envolvido aqui inclui funções componentes, domínio de funções, e cálculo de derivadas. Para resolver, vamos analisar cada componente de F(t) para descobrir onde a função está definida e depois aplicar as regras de derivação para encontrar as derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio de F(t) . O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de t para os quais todas as suas componentes estão definidas.
  • A componente raiz[3]t^2 é uma raiz cúbica. Raízes cúbicas estão definidas para todos os números reais, então não há restrição aqui.
  • A componente cos t^2 é uma função cosseno. A função cosseno está definida para todos os números reais.
  • A componente 3 t é uma função linear, que também está definida para todos os números reais.
Como todas as componentes estão definidas para qualquer valor real de t , o domínio de F(t) é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Agora vamos calcular a primeira derivada de F(t) em relação a t , ou seja, dFdt . Para isso, derivamos cada componente separadamente, usando as regras de derivação apropriadas.
  • Para raiz[3]t^2 , reescrevemos como t^2/3 . A derivada de t^n é n t^n-1 , então:
    ddt(t^2/3) = 23 t^-1/3
  • Para cos t^2 , usamos a regra da cadeia. A derivada de cos u é -sin u cdot dudt , onde u = t^2 . Então:
    ddt(cos t^2) = -sin t^2 cdot 2t = -2t sin t^2
  • Para 3t , a derivada é direta:
    ddt(3t) = 3
Assim, a primeira derivada é:
dFdt = 23 t^-1/3, i - 2t sin t^2, j + 3, k

Passo 4

Agora vamos calcular a segunda derivada de F(t) , ou seja, d^2Fdt^2 . Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada.
  • Para 23 t^-1/3 , aplicamos a regra da potência:
    ddt(23 t^-1/3) = 23 cdot (-13) t^-4/3 = -29 t^-4/3
  • Para -2t sin t^2 , usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
    ddt(-2t sin t^2) = -2 sin t^2 + (-2t) cdot 2t cos t^2 = -2 sin t^2 - 4t^2 cos t^2
  • Para 3 , a derivada é zero:
    ddt(3) = 0
Assim, a segunda derivada é:
d^2Fdt^2 = -29 t^-4/3, i - (2 sin t^2 + 4 t^2 cos t^2), j + 0, k

Resposta

O domínio de F(t) é todo o conjunto dos números reais. As derivadas são:
dFdt = 23 t^-1/3, i - 2t sin t^2, j + 3, k
d^2Fdt^2 = -29 t^-4/3, i - (2 sin t^2 + 4 t^2 cos t^2), j + 0, k

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