Determine o domínio de
. Calcule
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente determinar o domínio da função vetorial
e calcular a primeira e segunda derivadas em relação a
. O conteúdo envolvido aqui inclui funções componentes, domínio de funções, e cálculo de derivadas. Para resolver, vamos analisar cada componente de
para descobrir onde a função está definida e depois aplicar as regras de derivação para encontrar as derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio de
. O domínio de uma função vetorial é o conjunto de valores de
para os quais todas as suas componentes estão definidas.
-
A componente
é uma raiz cúbica. Raízes cúbicas estão definidas para todos os números reais, então não há restrição aqui. -
A componente
é uma função cosseno. A função cosseno está definida para todos os números reais. -
A componente
é uma função linear, que também está definida para todos os números reais.
Como todas as componentes estão definidas para qualquer valor real de
, o domínio de
é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Agora vamos calcular a primeira derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, derivamos cada componente separadamente, usando as regras de derivação apropriadas.
-
Para
, reescrevemos como . A derivada de é , então: -
Para
, usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde . Então: -
Para
, a derivada é direta:
Assim, a primeira derivada é:
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada de
, ou seja,
. Novamente, derivamos cada componente da primeira derivada.
-
Para
, aplicamos a regra da potência: -
Para
, usamos a regra do produto e a regra da cadeia: -
Para
, a derivada é zero:
Assim, a segunda derivada é:
Resposta
O domínio de
é todo o conjunto dos números reais. As derivadas são: