Determine o comprimento da curva polar.
(c) r=e^theta, 0 <= theta <= 4 pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva polar definida por r=e^theta para 0<=theta<=4pi. O conteúdo envolvido é o comprimento de arco em coordenadas polares, que usa a fórmula
L=integraltheta1^theta2raizr^2+gl(drdthetagr)^2,dtheta

Passo 2

Calcular a derivada drdtheta. Como r=e^theta, temos
drdtheta=e^theta

Passo 3

Substituir r e drdtheta na fórmula do comprimento:
raizr^2+l(tfracdrdthetar)^2 =raize^2theta+e^2theta =raiz2e^2theta =raiz2,e^theta

Passo 4

Montar a integral para L:
L=integral0^4piraiz2,e^theta,dtheta =raiz2integral0^4pie^theta,dtheta =raiz2l[e^thetar]0^4pi

Passo 5

Avaliar nos limites e simplificar:
L=raiz2l(e^4pi-e^0r) =raiz2l(e^4pi-1r)

Resposta

L=raiz2l(e^4pi-1r)

Exercícios relacionados